【数学】2019届文科一轮复习人教A版6-3基本不等式教案 8页

第三节　基本不等式 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解 决简单的最大(小)值问题． (对应学生用书第 83 页) [基础知识填充] 1．基本不等式 ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝B． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)b a ＋a b ≥2(a，b 同号且不为零)； (3)ab≤(a＋b 2 )2(a，b∈R)； (4)(a＋b 2 )2≤a2＋b2 2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积 定和最小)． (2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是q2 4 (简记：和定 积最大)． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x＋1 x 的最小值是 2.(　　) (2)函数 f(x)＝cos x＋ 4 cos x ，x∈(0，π 2)的最小值等于 4.(　　) (3)x>0，y>0 是x y ＋y x ≥2 的充要条件．(　　) (4)若 a>0，则 a3＋ 1 a2 的最小值为 2 a.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab C．1 a ＋1 b> 2 ab D．b a ＋a b ≥2 D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误；对于 B，C，当 a<0，b<0 时， 明显错误． 对于 D，∵ab>0， ∴b a ＋a b ≥2 b a· a b ＝2.] 3．(2018·福州模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等于 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[因为直线x a ＋y b ＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以1 a ＋1 b ＝1.所以 a＋b＝(a＋ b)·(1 a ＋1 b)＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 a b· b a ＝4，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C．] 4．若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(　　) A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 C　[当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ 1 x－2 ＋2≥2 (x－2) × 1 x－2 ＋2＝4， 当且仅当 x－2＝ 1 x－2(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3， 即 a＝3，选 C．] 5．(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面 积是__________m2. 【导学号：79170198】 25　[设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y， 则另一边为1 2 ×(20－2x)＝(10－x)m， 则 y＝x(10－x)≤[x＋(10－x) 2 ]2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.] (对应学生用书第 83 页) 直接法或配凑法求最值 　(1)(2015·湖南高考)若实数 a，b 满足1 a ＋2 b ＝ ab，则 ab 的最小值为(　　) A． 2 B．2 C．2 2 D．4 (2)已知 x＜5 4 ，则 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值为________． (1)C 　 (2)1 　 [(1) 由 1 a ＋ 2 b ＝ ab知 a>0 ， b>0 ， 所 以 ab＝ 1 a ＋ 2 b ≥2 2 ab ， 即 ab≥2 2， 当且仅当Error!即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 2. (2)因为 x＜5 4 ，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 ＝－(5－4x＋ 1 5－4x)＋3≤－2 (5－4x)· 1 5－4x ＋3＝－2＋ 3＝1. 当且仅当 5－4x＝ 1 5－4x ，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值为 1.] [规律方法]　　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二 定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最 值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和 为常数的形式，然后再利用基本不等式． [变式训练 1]　(1)若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2(x＞2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(　　) A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 (2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的 x＞0，不等式 x x2＋3x＋1 ≤a 恒成立，则实 数 a 的取值范围为(　　) A．a≥1 5 B．a＞1 5 C．a＜1 5 D．a≤1 5 (1)C 　 (2)A 　 [(1) 当 x ＞ 2 时 ， x － 2 ＞ 0 ， f(x) ＝ (x － 2) ＋ 1 x－2 ＋ 2≥2 (x－2) × 1 x－2 ＋2＝4，当且仅当 x－2＝ 1 x－2(x＞2)，即 x＝3 时取等号，即 当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C． (2)由 x＞0，得 x x2＋3x＋1 ＝ 1 x＋1 x ＋3 ≤ 1 2 x· 1 x ＋3 ＝1 5 ，当且仅当 x＝1 时，等号成 立．则 a≥1 5 ，故选 A．] 常数代换法或消元法求最值 　(1)已知正实数 x，y 满足 2x＋y＝2，则2 x ＋1 y 的最小值为________． (2)(2018·郑州模拟)已知正数 x，y 满足 x 2＋2xy－3＝0，则 2x＋y 的最小值是 ________． 【导学号：79170199】 (1)9 2 　(2)3　[(1)∵正实数 x，y 满足 2x＋y＝2， 则2 x ＋1 y ＝1 2(2x＋y)(2 x ＋1 y) ＝1 2(5＋2y x ＋2x y )≥1 2(5＋2 × 2y x · 2x y ) ＝9 2 ，当且仅当 x＝y＝2 3 时取等号． ∴2 x ＋1 y 的最小值为9 2. (2)由 x2＋2xy－3＝0 得 y＝3－x2 2x ＝ 3 2x －1 2x，则 2x＋y＝2x＋ 3 2x －1 2x＝3x 2 ＋ 3 2x ≥2 3x 2 · 3 2x ＝3，当且仅当 x＝1 时，等号成立，所以 2x＋y 的最小值为 3.] [规律方法]　　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建 立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条 件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不 等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求 解． 易错警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多 次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致． [变式训练 2]　(1)已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝1，则8 x ＋2 y 的最小值为________． (2)(2018·淮北模拟)已知正数 x，y 满足 x＋2y－xy＝0，则 x＋2y 的最小值为 (　　) A．8 B．4 C．2 D．0 (1)18　(2)A　[(1)因为 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1， 所以8 x ＋2 y ＝(8 x ＋2 y)(x＋y) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x · 2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即 x＝2y 时等号成立， 所以当 x＝2 3 ，y＝1 3 时，8 x ＋2 y 有最小值 18. (2)法一：(常数代换法)由 x＋2y－xy＝0，得2 x ＋1 y ＝1，且 x＞0，y＞0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×(2 x ＋1 y)＝4y x ＋x y ＋4≥4＋4＝8. 法二：(不等式法)由 x＞0，y＞0 得 x＋2y＝xy≤1 2·(x＋2y 2 )2 即(x＋2y)2－8(x＋2y)≥0 解得 x＋2y≥8 或 x＋2y≤0(舍去) 从而 x＋2y 的最小值为 8.] 基本不等式的实际应用 　运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 (2＋ x2 360)升，司机的工资是每小时 14 元． (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【导学号：79170200】 [解]　(1)设所用时间为 t＝130 x (h)， y＝130 x ×2×(2＋ x2 360)＋14×130 x ，x∈[50,100].2 分 所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y＝130 × 18 x ＋2 × 130 360 x，x∈[50，100]. (或 y＝2 340 x ＋13 18x，x∈[50，100]). 5 分 (2)y＝130 × 18 x ＋2 × 130 360 x≥26 10， 当且仅当130 × 18 x ＝2 × 130 360 x， 即 x＝18 10，等号成立. 8 分 故当 x＝18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元. 12 分 [规律方法]　　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最 值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范 围)内求解． [变式训练 3]　某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位 时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F＝ 76 000v v2＋18v＋20l. (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时； (2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/ 时. 【导学号：79170201】 (1)1 900　(2)100　[(1)当 l＝6.05 时，F＝ 76 000v v2＋18v＋20 × 6.05 ， ∴F＝ 76 000v v2＋18v＋121 ＝ 76 000 v＋121 v ＋18 ≤ 76 000 2 v· 121 v ＋18 ＝1 900， 当且仅当 v＝121 v ，即 v＝11 时取“＝”． ∴最大车流量 F 为 1 900 辆/时． (2)当 l＝5 时，F＝ 76 000v v2＋18v＋20 × 5 ＝ 76 000 v＋100 v ＋18 ， ∴F≤ 76 000 2 v· 100 v ＋18 ＝2 000， 当且仅当 v＝100 v ，即 v＝10 时取“＝”． ∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加 2 000－1 900＝100 辆/时．]