【数学】2020届一轮复习人教A版第十四章空间向量第2课　空间向量的坐标表示与数量积作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(2) ‎ ‎ 1. 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)，则顶点B、C的坐标分别为____________________．‎ ‎ 2. 已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与2a－b平行，则实数k＝________．‎ ‎ 3. 已知a，b是空间两个向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则|a＋b|＝________．‎ ‎ 4. 已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若a∥b，则x＝________．‎ ‎ 5. 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________________________________________________________________________.‎ ‎ 6. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．‎ ‎ 7. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥PABC的体积为________．‎ ‎ 8. 如图，已知空间几何体ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.‎ ‎(1) 求证：E，B，F，D1四点共面；‎ ‎(2) 若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，⊥，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.‎ ‎ 9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．‎ ‎(1) 求||；‎ ‎(2) 求cos〈，〉的值；‎ ‎(3) 求证：A1B⊥C1M.‎ ‎10. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB.求：‎ ‎(1) λ的值；‎ ‎(2) 异面直线PC与AC1所成角的余弦值．‎ 答案与解析 随堂巩固训练(2)‎ ‎1. B(6，－4，5)，C(9，－6，10)　解析：由A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，解得B(6，－4，5)，再由＝(3，－2，5)，解得C(9，－6，10)．‎ ‎2. －2　解析：计算得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，由ka＋b与2a－b平行，得＝＝，解得k＝－2.‎ ‎3. 　解析：因为|a－b|＝，所以|a|2＋|b|2－2a·b＝7.又因为|a|＝3，|b|＝2，所以a·b＝3‎ ‎，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝9＋4＋2×3＝19，则|a＋b|＝.‎ ‎4. 　－6　解析：若a⊥b，则－8－2＋3x＝0，所以x＝；若a∥b，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x，所以x＝－6.‎ ‎5. －2或　解析：cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.‎ ‎6. 　解析：设正方体的棱长为2，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，所以cos〈，〉＝＝－，故sin〈，〉＝.‎ ‎7. 　解析：以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系(如图)，设＝λ，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝＝＝，可求得当λ＝时，∠APC最大，故VPABC＝××1×1×＝.‎ ‎8. 解析：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(3，0，1)，＝(0，3，2)，＝(3，3，3)，‎ 所以＝＋，故，，共面．‎ 又它们有公共点B，‎ 所以E，B，F，D1四点共面．‎ ‎(2) 如图，设M(0，0，z)，则＝.‎ 又＝(0，3，2)．由题设得·＝0，得z＝1.‎ 所以M(0，0，1)．‎ 因为E(3，0，1)，所以＝(3，0，0)．‎ 又＝(0，0，3)，＝(0，3，0)，‎ 所以·＝0，·＝0，‎ 所以ME⊥BB1，ME⊥BC.‎ 因为BB1，BC平面BCC1B1，BB1∩BC＝B，‎ 故ME⊥平面BCC1B1.‎ ‎9. 解析：(1) 建立以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴的空间直角坐标系．‎ 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，‎ 所以＝(1，－1，1)，‎ 所以||＝＝.‎ ‎(2) 由(1)知A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，‎ 则＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，‎ 所以cos〈，〉＝＝＝.　‎ ‎(3) 由题意得M，C1(0，0，2)‎ 则＝(－1，1，－2)，＝，‎ 所以·＝－＋＋0＝0，‎ 即与的夹角为90°，‎ 所以A1B⊥C1M.‎ ‎10. 解析：(1) 设正三棱柱的棱长为2，以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，‎ 所以＝(，1，0)，＝(0，－2，2)，＝(，1，－2)．‎ 因为PC⊥AB，所以·＝0，‎ 所以(＋)·＝0，即(＋λ)·＝0，‎ 得λ＝－＝.‎ ‎(2) 由(1)知＝，＝(0，2，2)，‎ 所以cos〈，〉＝＝＝－，‎ 所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.‎