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- 2021-04-14 发布
七校联合体2019届高二3月联考试卷
文科数学
命题人：中山一中 审题人：
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若，则（ ）
A. B. C. D.
2．下列有三种说法：
①命题“＞3x”的否定是“＜3x”；
②已知p、q为两个命题，若为假命题，则 为真命题；
③命题“若xy=0，则x=0且y=0”为真命题. 其中正确的个数为（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
3．等比数列中，公比，，则（ ）
A. B. C. D.
4．若满足约束条件,则的最小值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．28
5．曲线 在处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6．若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义域为R的函数为增函数，且函数为偶函数，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9.方程在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（ ）
A.0 B.-2 C.-3 D. 1
10．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3， 4，5，6的横、纵坐标分别对应数列的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则 =（ ）
A.1003 B.1005 C.1006 D.2011
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 以、为焦点的椭圆＝１（）上顶点P，当=120°时，则此椭圆离心率e的大小为 ．
14．已知两点，点P是圆上任意一点，则的面积的最小值为 ．
15．右边的框图运行后，若输入n的值为60，则输出的结果是 ．
16．某农场农作物使用肥料量x与产量y的统计数据如下表：
肥料最x（吨）
2
3
4
5
产量y（吨）
26
39
49
54
根据上表，可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型，预报使用肥料量为6吨时产量为 吨．
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为，
向量 向量.
（1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积。
18．(本小题满分12分) 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：
第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，
第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．
(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，
若、分别为、的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面.
（3）求四棱锥的体积.
20． (本题满分12分)已知函数 .
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.
21．（本小题满分12分）设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列．
（1）试问是否成等差数列？为什么？
（2）如果，求数列的前项和．
22．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
七校联合体高二文数联考试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
B
C
C
D
D
A
A
B
B
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14. 15．63 16．65.5
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为，
向量 向量.
（1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积。
解：（1）
（2）由余弦定理知：
18．(本小题满分12分) 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：
第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，
第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．
(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
解：(1)由题设可知，， . ……2分
(2) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，
所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． …………5分
(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：
共种可能． …………8分
其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，…………10分
所以至少有1人年龄在第3组的概率为． …………12分
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，
若、分别为、的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面.
（3）求四棱锥的体积.
解：（1）证明：连结AC，则是的中点，在△中，EF∥PA，……2分
且PA平面PAD，EF平面PAD， ∴EF∥平面PAD …………4分
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，…………7分
又CD 平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. …………8分
(3) ,,
…………9分
又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，…………10分
…………11分
…………12分
20．(本题满分12分)已知函数 .
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.
解: （1） …………1分
……………………………4分
函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数. ……………6分
（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立. …………7分
………………8分
…………………10分
……………………………………11分
实数a的取值范围 ……………………………………12分
21．（本小题满分12分）设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列．
（1）试问是否成等差数列？为什么？
（2）如果，求数列的前项和．
解：由题意，得， ①
② ………………………………………2分
（1）因为，所以由式（2）得，从而当时，，
代入式（1）得， ……………………………………5分
即，故是等差数列．………………………6分
（2）由及式①，式②，易得 …………8分
因此的公差，从而，
得 从而有 ③
又也适合式③，故 ，…………10分
所以，
从而 ………12分
22．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
解：（1）设椭圆C的方程为．
由题意可得：，，． ………………4分
（2）（1）当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为
，
， ……………6分
， …………………8分
即，
① …………9分
又， ②
又点在直线AB上，
③ …………………………10分
把②③代入①得，
点D的轨迹方程为 ； …………………………………11分
（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足
综合（1）（2）知点D的轨迹方程为 ． ………………………………12分