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- 2021-04-14 发布
福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷
高二理科数学·选修2-1
时间：120分钟
满分：150分
命题：高二理科集备组
一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线x2=4y的准线方程是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1
2．已知，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.向量，若∥，则=（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
4．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．下列命题中是真命题的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题; ④“，则”的否命题.
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④
6.若，则关于的方程表示的曲线是( )
A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆
C. 焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线
7. 如右图，在正方体中，、分别是、
的中点，则异面直线与所成角的大小是( )
A. B. C. D.
8.与圆外切,且与圆外切的动圆圆心P轨迹方程是（ ）
A. B . C. D. [学
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=， =， =，则=（ ）
A． B． C． D．
10. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，
则的面积为（ ）
A.4 B.6 C. D.
11.已知P为抛物线上的动点，点P在轴上的射影为M，点A的坐标是，
则|PA|+|PM|的最小值是（ ）[]
A. B.10 C. D.8
12．给出以下命题：
①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；
②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；
③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；
④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；
则其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13.过双曲线的左焦点F(-c,0)作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点，若E是线段FP中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. +1 C. D.
二、 填空题（每小题5分，共25分）
14.命题“恒成立.”的否定为___________________________
15.设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交
于两点，则 .
16.直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是 ．
17.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m，当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶
部距水面高度为_________米.
18.已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面
内，点在线段上，若，则长度的最小值为 .
三、解答题（要求写出过程，共60分）
19. (本小题满分10分)
已知命题p:方程表示焦点在y轴的椭圆，命题q:关于x的方程没有实数根。若，求实数m的取值范围．
20. (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，点在上，.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线与交于另一点，求的值.
21. (本小题满分12分)
如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，
SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；
（Ⅱ）求二面角O﹣SC﹣B的余弦值．
22.(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，
∠BA A1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求
直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
23.(本小题满分14分)
已知椭圆E：的右顶点为C，点D，Q是上且不在轴上的点.若的离心率为,ΔQCD的最大面积等于.
（Ⅰ）求的方程；[]
（Ⅱ）若直线不过原点O且不平行于坐标轴，与椭圆E交于不同的两点A, B，线段中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
(2)若过点(1,3)，延长线段与椭圆E交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷
高二理科数学·选修2-1参考答案
一、1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B 13.A
二、14. ； 15.2 ； 16. x﹣y﹣3=0 ； 17.； 18.
19．解: p: ...................... 3分
q: ...................... 6分
, p假q真 ..................... 8分
所以m的取值范围是 ........ .... 10分
20．解：（解法一）（Ⅰ）由抛物线的定义，得，…………2分
解得，所以的方程为…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，因为在上，所以，
解得或（舍去），…………6分
故直线的方程为，…………7分
由消去，得，
解得，，…………10分
由抛物线的定义，得，…………11分
所以. …………12分
解法二：（Ⅰ）由题意，可得…………2分
解得…………3分
所以的方程为…………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，故直线的方程为，…………6分
由消去，得，
由韦达定理，得，又，所以，…………9分
故，从而，…………11分
所以…………12分
21. 解：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．
故MG∥OC，且，…1分
又AB∥OC，且，所以MG∥AB，且MG=AB，四边形MGAB为平行四边形…2分
故BM∥AG…又因为BM⊄平面SOA，AG⊂平面SOA，…所以BM∥平面SOA．…5分
（Ⅱ）由SO⊥平面OABC，，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…6分
则O（0，0，0），B（1，1，0），C（2，0，0），S（0，0，1），A（0，1，0）
因为OA⊥平面SOC，故即为平面SOC的一个法向量，…7分
设平面SCB的一个法向量为=（x，y，z），
由，得，令x=1，得=（1，1，2）．…9分
故．…11分
即二面角O﹣SC﹣B的余弦值为…12分
22. (Ⅰ)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB. ……1分
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. ……3分
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C. ……5分
(Ⅱ)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. ……7分
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即可取n＝(，1，－1)．……9分
故cos〈n，〉＝＝. ……11分
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分
23.解：（Ⅰ）由题意，可得的最大面积为，即.……① ……2分
又……② …………3分
……③ …………4分
联立①②③，解得，，故的方程为：. …………5分
(Ⅱ) (1)设，，．
由得： ，故，……7分
．于是直线的斜率，即．
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．…………9分[]
（2）四边形能为平行四边形．
因为直线过点(1,3)，所以不过原点且与E有两个交点的充要条件是，．
由(1)得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．……11分 将点(1,3)的坐标代入直线的方程得m=3-k，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．
于是．解得，．……13分 因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．…………14分