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- 2021-04-14 发布
龙海二中2017-2018学年上学期期末考试
高二理科数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知条件p：x≤1，条件，q：<1，则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
开始
结束
S=0
n=2
k=k+1
n=n+2
k=1
k≤10?
否
输出s
是
2．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的
横坐标（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知程序框图如图1所示，则该程序框图的功能是（ ）
A.求数列的前10项和 ，
B.求数列的前10项和 ，
C.求数列的前11项和
D.求数列的前11项和
图1
第4题图
4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）.
A． B． C． D．
俯视图
正视图
5．若，则函数的导函数等于（ ）
A． B． C． D．
6．下图是我校“班班有歌声”评选会上，7位裁判为某班级打出的分数的茎叶图，
左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字．
这些数据中去掉一个最低分和一个最高分后，所剩数据的平均数是( )
A． 86.6 B． 86.7 C．86.8 D．86.9
7．设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
8. 某同学在四次数学测试中得分为100，x，100，80，已知这组数据的平均数为90，则这组数据的标准差是（ ）
A．10 B．40 C．100 D．400
9. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是，则当x=6时，y的预测值为（ ）
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
A．8.4 B．8.3 C．8.2 D．8.1
10．已知空间直角坐标系中有一点A（1，1,1），点是平面内的直线
上的动点，则两点间的最短距离是（ ）
A. B. C.2 D.
11．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则函数y＝f(f(x)) 的零点个数为( )
A． 6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．我校对全校男女学生共2400名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为3
00的样本．已知男生比女生少抽了15人，则我校的男生人数应是 人．
14．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
15．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 ．
16．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和，则函数在上为增函数的概率是
三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在某次三数学测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用表示编号为n的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率。
18．（本小题满分12分）已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大。（1）求抛物线C的方程；（2）在（1）的条件下，直线l与抛物线线C相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若以AB为直径的圆恰好经过抛物线的顶点．则直线是否经过某定点? 若有，求出该定点，若没有，请说明理由。
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若在处的切线与垂直，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
20.（本小题满分12分）
如图，底面为正方形的直四棱柱中，，点在上，且.(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
21. （本小题满分12分）
已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．
（1） 若f（x）在 处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（1）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
22. （本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交与，两点，为坐标原点，则在椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？请说明理由.
龙海二中2017-2018学年上学期期末考试
高二数学（理）试卷参考答案
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
B
B
D
C
D
A
B
B
C
D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 1140 14． 15．6 16．.
三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
解：（1）∵这6位同学的平均成绩为75分，，解得，这6位同学成绩的方差
标准差s=7. ......5分
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：（70,76），（70,72），（70,70），（70,72）（76,72），（76,70），（76,72），（72,70），（72,72），（70,72），共10种，恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的有：（70,76），（76,72），（76,70），（76,72），共4种，所求的概率为，即恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率为0.4. ......10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）. ......3分
(2) 设点A，B的坐标分别为（，），（，）（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．联立方程得：消去y得，由题意：=，，又由以AB为直径的圆恰好经过抛物线的顶点，得OA⊥OB，得，即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程解得 ，即=-2m，又由OA⊥OB得，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．......12分
19.(本小题满分12分）
解析：（1）∵的定义域为，，∴，即……………4分
（2）∵，
①当时，，∴在上单调递减，∴当时，矛盾．
②当时，，令，得；，得．
（i）当，即时，时，，即递减，∴矛盾．
（ii）当，即时，时，，即递增，∴满足题意． 综上:．.... 12分
20.（本小题满分12分） 解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴,D为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D－xyz. 依题设知B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．则＝(0,2,1)，＝(2, 2,0)，＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)......3分
(1) 证明：∵·＝0，·＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥DE. 又DB∩DE＝D，
∴A1C⊥平面DBE..........6分
(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥、n⊥.
∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．.....8分
∴cos〈n，〉＝......10分
∴二面角A1－DE－B的余弦值为....12分
21. （本小题满分12分）解:（1）f'（x）=﹣3x2+2ax，由题意得，解得a=2，经检验满足条件．......6分
（2）由（1）知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f'（x）=﹣3x2+4x，
令f'（x）=0，则x1=0，（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
﹣1
（﹣1，0）
0
（0，1）
1
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
﹣1
↘
﹣4
↗
﹣3
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∴f（x）极小值=f（0）=﹣4，如图构造f（x）在[﹣1，1]上的图象．又关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，则﹣4＜m≤﹣3，即m的取值范围是（﹣4，﹣3]．
......12分
22. （本小题满分12分）解：（1）依题意， ……………2分 ∴，……………3分
∴椭圆的方程为 ………4分
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则其方程为由
得 ……………5分
∵ ∴ ……6分
设，，假设在椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，则有，，……………7分
………8分 ∴
∴， ………9分
∵点在椭圆上∴ ………10分
即 解得：……………11分
所以在椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形. ………12分