- 1008.50 KB
- 2021-04-14 发布
两点间的距离
想一想：我们上体育课时，用的体育器材中，有哪些涉及两条直线的位置关系呢？
1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会
求两条相交直线的交点坐标
.
(
重点)
2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置
关系
.
(
难点)
3
.能够推导两点间距离公式
.
(
重点)
4
.会应用两点间距离公式证明几何问题.
(难点)
1.
两条直线的交点
两条直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点M
直线
l
点M在直线
l
上
直线
l
1
与
l
2
的交点是M
M的坐标满足方程
M
的坐标是方程组的解
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一
定是它们的方程组成的方程组 的解
.
探究
1
：
如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？
如果两条直线
和
如果方程组
有解，
那么以这个解为坐标的点就是直线
的交点
.
和
交点坐标即是方程组的解
例
1
求下列两条直线的交点坐标：
解：
解方程组
所以
l
1
与
l
2
的交点为
M
（
-2
，
2
）
.(
如图所示
)
得
l
1
M
l
2
表示何图形
?
图形有何特点？
探究
2
：
λ=0
时，方程为
l
1
：
3x+4y-2=0
λ=1
时，方程为
l
2
：
5x+5y=0
λ=-1
时，方程为
l
3
：
x+3y-4=0
解：
先以特殊值引路：
当
λ
变化时，方程
3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0
x
y
l
2
0
l
1
l
3
作出相应的直线
所以当
λ
变化时，方程表示直线，所有的直线都过点（
-2,2
）
.
(1)
若方程组有且只有一个解
,
(2)
若方程组无解
,
(3)
若方程组有无数个解
,
则
l
1
与
l
2
平行.
则
l
1
与
l
2
相交.
则
l
1
与
l
2
重合
.
2
．两条直线的位置关系
探究
3
：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？
讨论下列二元一次方程组解的情况
:
无数组解
无解
一组解
相交
重合
平行
（
1
）
（
2
）
（
3
）
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
【
提升总结
】
例
2
判断下列各对直线的位置关系
.
如果相交，求出交点的坐标：
解
:
（
1
）
解方程组
得
所以
l
1
与
l
2
相交，交点坐标为
（
2
）
故
平行
.
由于
解方程组
方法一：
得
矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，
故
平行
.
方法二：
（
3
）
所以
由于
解方程组
方法一：
得
因此，
可以化成同一个方程，表示同一直线，
方法二：
重合
.
重合
.
3
.
两点间的距离公式
它们的坐标分别是
， ， ， ，
探究
4
：
那么
|AB|
，
|CD|
怎样求？
（
1
）如果
A
，
B
是 轴上两点，
C
，
D
是 轴上两点，
(2)
已知
，试求两点间的距离
.
若
x
O
y
若
x
O
y
分别向
y
轴和
x
轴作垂线 ，垂足分别为
.
直线
相交于点
Q.
在平面直角坐标系中，从点
若
如图
Rt△P
1
P
2
Q
中，
|P
1
P
2
|
2
= |P
1
Q|
2
+|QP
2
|
2
，为了计
算
|P
1
Q|
和
|QP
2
|
长度，过点
P
1
向
x
轴作垂线，垂足为
M
1
（
x
1
,0
），过点
P
2
向
y
轴作垂线，垂足为
N
2
（
0
，
y
2
），
Q
所以两点 间的距离为
于是有
所以
特别地，原点
O
（
0
，
0
）与任一点
P
（
x,y
）的距离
例
3
已知点
在
轴上求一点 ，
使
，并求
的值
.
解得
x=1.
所以，所求点为
P
（
1
，
0
），且
解：
设所求点为
P
（
x,0
），于是
由
得
即
证明：
如图所示，以顶点
A
为坐标原点，
AB
边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系
.
例
4
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
.
则A(0，0).设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ)
.
A
B
C
D
x
y
(ｂ,ｃ)
(a+ｂ,ｃ)
(a,0)
(0,0)
因为
所以
所以
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
.
1.若直线
l
1
:y=kx+k+2与
l
2
:y=-2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是 ( )
A.
k＞
B.
k＜2
C.
＜k＜2
D.
k＜ 或k＞2
C
2.求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：
答案：
3.判断下列各对直线的位置关系.
答案：
(1)
相交，
(2)
相交，
(3) 平行.
4
.求下列两点间的距离：
答案：
5.
已知
的三个顶点坐标是
（
1
）判断
的形状
.
（
2
）求
的面积
.
解：
（
1
）如图，
为直角三角形，以下
来进行验证，
即
是以
A
为顶点的直角三角形
.
（
2
）由于
是以
A
为顶点的直角三角形，
所
以
1.
直线
l
1
：
A
1
x+B
1
y+C
1
=0
直线
l
2
：
A
2
x+B
2
y+C
2
=0
直线
l
1
与
l
2
之间的位置关系：
时，两条直线相交，交点坐标为
当
当
时，两条直线平行
；
当
时，两条直线重合
.
2
.
两点间的距离为