高考数学难点突破23__求圆锥曲线方程 10页

高中数学难点 23 求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等 价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们 熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题 等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●难点磁场 1.(★★★★★)双曲线 2 22 4 b yx  =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2，P 为双曲线上一点，|OP| ＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则 b2=_________. 2.(★★★★)如图，设圆 P 满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其 弧长比为 3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线 l：x－2y=0 的距离最小的圆 的方程. ●案例探究 ［例 1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚 轴)旋转所成的曲面，其中 A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点， B、B′是下底直径的两个端点，已知 AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m. (1)建立坐标系并写出该双曲线方程. (2)求冷却塔的容积(精确到 10 m2,塔壁厚度不计，π 取 3.14). 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用 所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积. 错解分析：建立恰当的坐标系是解决本题的关键，积分求容积是本题的重点. 技巧与方法：本题第一问是待定系数法求曲线方程，第二问是积分法求体积. 解：如图，建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上，AA′的中 点为坐标原点 O，CC′与 BB′平行于 x 轴. 设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x  =1(a＞0,b＞0),则 a= 2 1 AA′=7 又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上，所以有 1 7 9,1 7 11 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2  b y b y 由题意，知 y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7 2 故双曲线方程为 9849 22 yx  =1. (2)由双曲线方程，得 x2= 2 1 y2+49 设冷却塔的容积为 V(m3),则 V=π     8 12 8 12 8 12 322 |)496 1()492 1( yydyydyx  ,经 计算，得 V=4.25×103(m3) 答：冷却塔的容积为 4.25×103m3. ［例 2］过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 2 2 的椭圆 C 相 交于 A、B 两点，直线 y= 2 1 x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础 性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问 题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 A、B 两点坐标代入圆 锥曲线方程，两式相减得关于直线 AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由 e= 2 2a c ,得 2 1 2 22  a ba ,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x1 2+2y1 2=2b2,x2 2+2y2 2=2b2, 两 式 相 减 得 ， (x1 2 － x2 2)+2(y1 2 － y2 2)=0, .)(2 21 21 21 21 yy xx xx yy    设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=－ 0 0 2y x ,又(x0,y0)在直线 y= 2 1 x 上，y0= 2 1 x0,于是－ = －1,kAB=－1,设 l 的方程为 y=－x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),              by x bxy bx y 1 1 122 1 解得则 由点(1,1－b)在椭圆上，得 1+2(1－b)2=2b2,b2= 8 9,16 9 2 a . ∴所求椭圆 C 的方程为 2 2 9 16 9 8 yx  =1,l 的方程为 y=－x+1. 解法二：由 e= 2 1,2 2 2 22  a ba a c 得 ,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x－1), 将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则 x1+x2= 2 2 21 4 k k  ,y1+y2=k(x1 －1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ 221 2 k k  . 直线 l：y= 2 1 x 过 AB 的中点( 2,2 2121 yyxx  ),则 2 2 2 21 2 2 1 21 k k k k     ,解得 k=0，或 k= －1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=－1，直线 l 的方程为 y=－(x－1),即 y=－x+1,以下同解法一. ［例 3］如图，已知△P1OP2 的面积为 4 27 ，P 为线段 P1P2 的一个三等分点，求以直线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为 2 13 的双曲线方程. 命题意图：本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决 问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方 程. 错解分析：利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出 △P1OP2 的面积是学生感到困难的. 技巧与方法：利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建立关于参数 a、b 的两个方程，从 而求出 a、b 的值. 解：以 O 为原点，∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x  =1(a＞0,b＞0) 由 e2= 22 2 2 )2 13()(1  a b a c ，得 2 3a b . ∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 2 3 x 和 y=－ 2 3 x 设点 P1(x1, x1),P2(x2,－ x2)(x1＞0,x2＞0),则由点 P 分 21PP 所成的比λ = 2 1 PP PP =2,得 P 点坐 标为( 2 2,3 2 2121 xxxx  ),又点P在双曲线 2 2 2 2 9 4 a y a x  =1上，所以 2 2 21 2 2 21 9 )2( 9 )2( a xx a xx  =1, 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 ① ,4 27 13 12 4 13 2 1sin||||2 1 13 12 4 91 2 32 tan1 tan2sin 2 13 4 9||,2 13 4 9|| 212121 1 2 1 21 2 2 2 2 21 2 1 2 11 21          xxOPPOPOPS OxP OxPOPP xxxOPxxxOP OPP 又 即 x1x2= 2 9 ② 由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为 94 22 yx  =1. ●锦囊妙计 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2+ny2=1(m＞0,n＞0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知直线 x+2y－3=0 与圆 x2+y2+x－6y+m=0 相交于 P、Q 两点，O 为坐标 原点，若 OP⊥OQ，则 m 等于( ) A.3 B.－3 C.1 D.－1 2.(★★★★)中心在原点，焦点在坐标为(0，±5 2 )的椭圆被直线 3x－y－2=0 截得的 弦的中点的横坐标为 2 1 ，则椭圆方程为( ) 12575 D. 17525C. 125 2 75 2 B. 175 2 25 2A. 2222 2222   yxyx yxyx 二、填空题 3.(★★★★)直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P，若过点 P 且以双曲线 12x2－4y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.(★★★★)已知圆过点 P(4，－2)、Q(－1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ， 则该圆的方程为_________. 三、解答题 5.(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个焦点为 F，M 是 椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2，椭圆上存在着以 y=x 为轴的对 称点 M1 和 M2，且|M1M2|= 3 104 ，试求椭圆的方程. 6.(★★★★)某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔 4 米需用一支柱支 撑，求其中最长的支柱的长. 7.(★★★★★)已知圆 C1 的方程为(x－2)2+(y－1)2= 3 20 ,椭圆 C2 的方程为 2 2 2 2 b y a x  =1(a＞b＞0)，C2 的离心率为 2 2 ，如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点，且线段 AB 恰为圆 C1 的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程. 参考答案 难点磁场 1.解析：设 F1(－c,0）、 F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜ 3 17 , 又∵c2=4+b2＜ ,∴b2＜ 3 5 ,∴b2=1. 答案：1 2.解法一：设所求圆的圆心为 P(a,b），半径为 r,则点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a| ∵圆 P 截 y 轴所得弦长为 2，∴r2=a2+1 又由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90°,故弦长|AB|= 2 r,故 r2=2b2,从而有 2b2－a2=1 又∵点 P(a,b)到直线 x－2y=0 的距离 d= 5 |2| ba  , 因此，5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1, 当且仅当 a=b 时 上 式 等 号 成 立 ， 此 时 5d2=1, 从而 d 取 最 小 值 ， 为 此 有                1 1 1 1 12 22 b a b a ab ba 或得 , ∵r2=2b2, ∴r2=2 于是所求圆的方程为：(x－1）2+(y－1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 解法二：设所求圆 P 的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2(r＞0) 设 A(0,y1),B(0,y2)是圆与 y 轴的两个交点，则 y1、y2 是方程 a2+(y－b)2=r2 的两根， ∴y1，2=b± 22 ar  由条件①得|AB|=2，而|AB|=|y1－y2|,得 r2－a2=1 设点 C(x1,0)、D(x2,0)为圆与 x 轴的两个交点，则 x1,x2 是方程(x－a)2+b2=r2 的两个根， ∴x1，2=a± 22 br  由条件②得|CD|= 2 r,又由|CD|=|x2－x1|，得 2b2=r2,故 2b2=a2+1 设圆心 P(a,b)到直线 x－2y=0 的距离为 d= 5 |2| ba  ∴a－2b=± 5 d,得 a2=(2b± d)2=4b2±4 bd+5d2 又∵a2=2b2－1,故有 2b2±4 bd+5d2+1=0.把上式看作 b 的二次方程， ∵方程有实根. ∴Δ =8(5d2－1)≥0,得 5d2≥1. ∴dmin= 5 5 ,将其代入 2b2±4 5 bd+5d2+1=0, 得 2b2±4b+2=0,解得 b=±1. 从而 r2=2b2=2,a=± 12 r =±1 于是所求圆的方程为(x－1)2+(y－1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 歼灭难点训练 一、1.解析：将直线方程变为 x=3－2y,代入圆的方程 x2+y2+x－6y+m=0, 得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0. 整理得 5y2－20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 y1y2= 5 12 m ,y1+y2=4. 又∵P、Q 在直线 x=3－2y 上， ∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故 m=3. 答案：A 2.解析：由题意，可设椭圆方程为： 2 2 2 2 b x a y  =1,且 a2=50+b2, 即方程为 2 2 2 2 50 b x b y   =1. 将直线 3x－y－2=0 代入，整理成关于 x 的二次方程. 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案：C 二、3.解析：所求椭圆的焦点为 F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小，只需在直线 l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解. 答案： 45 22 yx  =1 4.解析：设所求圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2 则有         222 222 222 )32(|| )3()1( )2()4( ra rba rba              27 4 5 13 0 1 22 r b a r b a 或 由此可写所求圆的方程. 答案：x2+y2－2x－12=0 或 x2+y2－10x－8y+4=0 三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为 14 2 2 2  y a x ① 设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=－x+m ② 将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0= 2 1 (x1+x2)= 2 2 4 a ma  ,y0=－x0+m= 24 4 a m  . 代入 y=x,得 22 2 4 4 4 a m a ma    , 由于 a2＞4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=－ 2 2 4 4 a a  , 又|M1M2|= 3 1044)(2 21 2 21  xxxx , 代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为： 45 22 yx  =1. 6.解：以拱顶为原点，水平线为 x 轴，建立坐标系， 如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B 坐标分别为(－10，－4）、 (10，－4） 设抛物线方程为 x2=－2py,将 A 点坐标代入，得 100=－2p×(－4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=－25y. 由题意知 E 点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为 2，将 2 代入得 y=－0.16,从而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.解：由 e= 2 2 ,可设椭圆方程为 2 2 2 2 2 b y b x  =1, 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ,1 2 b y b x b y b x  =1,两式相减，得 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 b yy b xx  =0, 即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0. 化简得 21 21 xx yy   =－1,故直线 AB 的方程为 y=－x+3, 代入椭圆方程得 3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ =24b2－72＞0,又|AB|= 3 204)(2 21 2 21  xxxx , 得 3 20 9 72242 2  b ，解得 b2=8. 故所求椭圆方程为 816 22 yx  =1.