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- 2021-04-14 发布
长阳一中2018—2019学年度第一学期期中考试
高二数学（文科）试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
命题人：周万波 审题人：方秉武
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题有且仅有一个正确的答案）.
1、在直角坐标系中，直线 的倾斜角为 （ ）
A.-30° B.60° C.120° D.150°
2、若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ( )
A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
3、命题:“”的否定为 （ ）
A. B.
C. D.
4、若满足约束条件则的最小值为 （ ）
A.9 B. 7 C.1 D.-3
5、一个长方体边长分别为，则其外接球的表面积为 ( )
A．16π B．32π C．36π D．64π
6、相关变量x，y的样本数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
5
6
经回归分析可得与线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，则＝ ( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
7、已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
8、设集合，命题p：，命题q：.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是 ( )
A．或 B．或 C． 1≤a≤2 D．
9、执行如图所示的程序框图,若输出的结果是9,则判断框内的
取值范围是（ ）.
A.(42,56] B.(56,72] C.(72,90] D.(42,90)
10、已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A、相交 B、相离 C、内切 D、外切
11、在长方体中，，与平面
所成的角为，则该长方体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
12、关于下列命题，正确的个数是（ ）
（1）若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，则k＞2或k＜﹣4
（2）已知圆M：（x+cos θ）2+（y﹣sin θ）2=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切
（3）已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2
（4）设直线系M：xcos θ+ysin θ=2+2cos θ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、某四面体三视图如图所示，则该四面体的体积为 .
14、在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为 .
15、过点作圆的一条切线，其中为切点，则
.
16、如图所示，在中，，的面积是的面积的3倍，沿将翻折，使翻折后，此时二面角的余弦值
为 .
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、（本题满分10分）设命题：“方程有两个实数根”，命题：“方程无实根”，若为假，为假，求实数的取值范围．
18、（本题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
19、（本题满分12分）已知直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与轴的正半轴分别交于两点,试求的面积最小值及此时直线的方程.
20、（本题满分12分）下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为，乙代表队数据的平均数是.
（1）求，的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.
21、（本题满分12分）如图，在多面体中，四边形均为直角梯形，
∠ABC=∠ABE=90°，四边形为平行四边形，平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若△ABD是边长为2的等边三角形，且异面直线与所成的角为，求点到平面的距离．
22、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.
(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
(2)设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
(3)设点满足：存在圆上的两点和,使得
,求实数的取值范围。
长阳一中2018—2019学年度第一学期期中考试
高二文科数学试卷答案
一、 选择题
1-6 DBCCAC 7-12 BDBACC
二、填空题
13、14、15、16、
三、解答题
17、解：
18、【解析】（1）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以．
因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．
（2） 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括
（1，1，1，），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以
．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
19、解：（1）当直线的斜率不存在时，直线与轴垂直，又直线经过
直线方程为，是圆的一条切线
当直线的斜率存在时设为，则直线方程为
直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得
直线的方程为，即
综上，所求直线的方程为或.
（2）由题意设其中，则直线的方程为，
因为点在直线上，则有
，即，当且仅当，
即时取等号，此时的面积为，即
面积有最小值为12，直线的方程为，即.
20、（3）因为甲的平均数为，
所以甲的方差
，
又乙的方差
，
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.
21、证明：（Ⅰ）∵， ∴，
又且交于点， ∴平面
又平面， ∴
又∵∥，∥， ∴
又平面平面且交于，
∴平面又， ∴平面平面
（Ⅱ）∵∥∴为异面直线与所成的角，则
中，，∴
∵是边长为的等边三角形，
∴中，， ∴，
∵∥，，∴ ∥平面
∴点到平面的距离即为点到平面的距离
由（Ⅰ）可知平面，则为三棱锥的高
设点到平面的距离为由， 得
∴
22、解：（1） 因为在直线上，设，因为与轴相切，
则圆为，
又圆与圆外切，圆：，
则，解得，即圆的标准方程为；
（2） 由题意得， 设，则圆心到直线的距离,
则，，即，
解得或，即：或；
（3） ，即，即，
，又,即，解得，
对于任意，欲使，
此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于两点，此时，即，因此对于任意，均满足题意，综上．