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- 2021-04-14 发布
南安一中2017-2018学年秋季期初考试文科数学试卷
满分：150分；考试时间：100分钟；命题人：吴显祖 审核：吴水荣
一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分每题的四个选项只有唯一选项是正确的）
1．已知集合, ,则（ ）
A. B. C. D.
2．已知复数 （其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3．是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4．平面向量与的夹角为， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5．若是等差数列的前项和，且，则的值为( )
A. 12 B. 18 C. 22 D. 44
6．曲线存在与直线垂直的切线，实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
8．函数的图象大致是（ ）
9．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
10. 若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（ ）A.（1，） B.[0，2] C.[1，2） D.[1，]
11．11.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
12．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°，M是OB中点，P是弧AB上的动点，N是线段OA上的动点，则的最小值为（ ）
A.0 B.1 C. D.1-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.命题“,”的否定是__________________
14已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
15设两个向量，，其中，，为实数．若，则的取值范围是__________．
16．已知定义在上的函数满足，且对于任意的，恒成立，则不等式的解集为_________．
三．解答题：本大题共6小题，共74分。
17. （本小题满分12分）在极坐标系中，已知⊙C：ρ＝cosθ＋sinθ，直线l：ρ＝．
（Ⅰ）以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，求圆C的参数方程．
（Ⅱ）求⊙C上的点到直线l的距离的最小值．
18．（本小题满分12分）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的通项公式．
19（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的递增区间；
（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，[
，求．
20．（本小题满分12分）已知函数的切线方程为y=3x+1.
（Ⅰ） 若函数处有极值，求的表达式；
(2) 若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围.
21（本小题满分12分）某港湾的平面示意图如图所示， ，，分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向6km处，位于的北偏东方向10km处．
（Ⅰ）求集镇，间的距离；
（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上航线．勘测时发现：以为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头的位置，使得之间的直线航线最短．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为－2，求的取值范围；
（Ⅲ）若对任意、，，且恒成立
求的取值范围．
参考答案
1-6：AAA BCC 7-12：CAD CDD
1 A因为，则，
2．A【解析】复数的共轭复数是.
3．A【解析】由，可得，得，但由不一定能够得到“”，即“”是的充分不必要条件，故选A.
4．B【解析】由题意得， ，则 故选B.
5．C【解析】试题分析：∵，由等差数列的性质可得， ，∴，由等差数列的求和公式可得， ，故选C.
6．C【解析】函数， ，则，若函数存在与直线垂直的切线，可得有大于0的解，则，解得，则实数的取值范围是，故选C.
7．C【解析】由题意得， ，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数 的图象，故选C.
8．A【解析】函数是奇函数，排除选项C，当时，函数，当时， ，当，排除B、D．故选A.
9．D【解析】函数是定义在上的奇函数，且导函数是，所以是减函数，不等式，
O
X
Y
2
1
3
即，故答案选D．
10.C
11．D【解析】：画出函数的图象，
易得范围.
12 D
16令，则单调递减. 令，则原不等式等价于，故. 故解集为
13 , 14.2n－1
15 16
17解：（Ⅰ）由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
即x2＋y2＝x＋y，则2＋2＝．
因此⊙C的直角坐标方程为2＋2＝．……………………4分
（Ⅱ）由ρ＝，得ρcos＝2，
即(ρcosθ－ρsinθ)＝2，则x－y＝4．
因此直线l的直角坐标方程为x－y＝4． ………………………………6分
于是圆心C到直线l的距离d＝＝＝2．……………8分
从而⊙C上的点到直线l的距离的最小值为d－r＝2－＝．10分
18．解：（I），，，
因为，，成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故． 6分
（II）当时，由于，，……，
所以．
又，，故．
当n=1时，上式也成立，所以 12分
19解（Ⅰ）
，
递增得到，
解得，
所以递增区间是； 6分
（Ⅱ） ，得到
，
由得到，所以角,
由正弦定理得，
所以，
．12分
20（1）由得2a+b=0，-------------1分
又因为且 -------------3分
得 -------------5分
（2）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
依题意在[－2，1]上恒有≥0，即 ----7分
法一：①当；
②当；
③当 ---------10分
综上所述，参数b的取值范围是. -----------------12分
法二：分离参数法
21解法一：（Ⅰ）在△中，，， ，
根据余弦定理得，
，
所以．故，两集镇间的距离为14km．……………………5分
（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．
设，，，
在△中，由，
得，即，………………………………8分
由余弦定理得，，………………10分
所以，解得， 当且仅当时，取得最小值．
所以码头与集镇的距离均为km时，之间的直线航线最短，最短距离为km．………………………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分
（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．
设，则， ，
在中，，所以， 7分
在中，，所以，
所以
． 10分
因为，所以，因此当，即时，有最大值，故有最小值，此时．
所以码头与集镇的距离均为km时，之间的直线航线最短，最短距离为km． 12分
22．解：（1）当a＝1时， ，
f′(x)＝2x－3＋. 因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切线方程是y＝－2. -------2分
（2）函数 的定义域是(0，＋∞)．
当a>0时，
f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)，
令f′(x)＝0，即，
所以x＝或x＝.---------4分
① 当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
② 当1<0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，
只要≥0，则需要a>0，
对于函数，过定点(0,1)，对称轴x＝>0，
只需，即0