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- 2021-04-14 发布
课时分层训练(二十四)
平面向量的概念及线性运算
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝( )
【导学号：01772142】
A.a－b B.a＋b
C．a－b D.a＋b
A [＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.]
2．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( )
A．A，B，C B.A，B，D
C．B，C，D D.A，C，D
B [因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
【导学号：01772143】
A. B.
C．－ D.－
A [∵＝2，即－＝2(－)，
∴＝＋，∴λ＝.]
4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B.a∥b
C．a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
C [＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B.同向平行
C．互相垂直 D.既不平行也不垂直
A [由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．]
二、填空题
6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________.
【导学号：01772144】
平行四边形 [由＋＝＋得－＝－，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．]
7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
e1＋e2 [在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．]
8．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
－ [∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴MN＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，∴x＝，y＝－.]
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
图411
[解] ＝(＋)＝a＋b.2分
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.12分
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
[解] (1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线.3分
又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分
(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，9分
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得解得λ＝，k＝.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则
eq f(|o(MD,sup6(→))|,|o(BM,sup6(→))|)的值为 ( )
【导学号：01772145】
A. B.
C．1 D.2
A [∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD(图略)，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝＝，故选A.]
2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图412，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
图412
[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.]
3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
[解] 由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E
三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，3分
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.6分
因为a，b不共线，所以有9分
解之得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.12分