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- 2021-04-13 发布
河北武邑中学2019-2020学年高三年级下学期第二次质检考试
数学试题（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
解：∵集合，，
∴.故选：B.
2.已知复数，，若是实数，则实数的值为（ ）
A.0 B. C.6 D.
解：∵是实数，
则，∴实数的值为6，故选C
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A. B. C. D.
解：根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能
体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.
4.设，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
解：，，，，
∴，，，
【答案】D
5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
解：由题意，排除D，，排除A，C.同时B也满足，，，故选：B.
6.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（）
A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍
【答案】C
7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
解：结合题意，绘制图像，如图所示
平面的面积为，故该几何体的体积，故选B.
8.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案.
【详解】
解：的定义域为，
∴恒成立，
∴在，单调递增，
当时，，函数单调递增，故排除C，D，
当时，，，
∴，故排除B，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题.
9.已知函数与轴交于点，距离轴最近的最高点，若，且，恒有，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
解：由题意得，，，，
∴，由五点作图法知，解得，
∴，令，.
解得，.
∴，∴，故选：C.
10.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可.
解：设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为，直线的斜率为1，
故直线为，
由，联立得故，，
所以，
故，故选：A.
11.如图，为的外心，，，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】外心在，上的投影恰好为它们的中点，分别设为，，所以在，上的投影为，，而恰好为中点，故考虑，所以
12.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】
【详解】
当时，则，
此时有，
∵，
∴，
∴函数是周期为2的周期函数.
令，则，
由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数.
在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），
结合图象可得两函数的图象有三个交点，
∴函数的零点个数为3.选C.
点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第II卷 非选择题（共90分）
13.若，满足约束条件，则的最小值为________. 答案为：.
解：先作可行域，则直线过点时取最小值.
14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0-1区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，，若共产生了个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为________.（结果用，表示）
【答案】
15.已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】
由双曲线的方程的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且，都位于第一象限，且，，
可知为的三等分点，且，
点在直线上，并且，则，，
设，则，
解得，，即，
代入双曲线的方程可得，解得
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，转化为，的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）.
16.点为棱长是3的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为_______.
【解析】由题意得经过球的球心，动点的轨迹为经过点且与垂直的平面被球所截所得的截面圆的圆周.
由几何知识可得，平面为过点且与垂直的平面，由题意得截面圆即为的内切圆.结合意可得为边长等于的等边三角形，故内切圆的半径为，所以周长为.
17.（本题满分12分）
为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了，，三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下：
类
第次
1
2
3
4
5
分数（小于等于）150
145
83
95
72
110
，；
类
第次
1
2
3
4
5
分数（小于等于）150
85
93
90
76
101
，；
类
第次
1
2
3
4
5
分数（小于等于）150
85
92
101
100
112
，；
（3）经计算已知，的相关系数分别为，，请计算出学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留三位有效数字，越大认为成绩越稳定）。
（4）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为，利用线性回归方程预测该生第九次的成绩。
参考公式：（1）样本的相关系数
（2）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
答案解析
（1）根据题意，可知类学生的
，
，
，
相关系数，
又因为，则类学生学习成绩最稳定
（2）因为，
所以，
所以，
当时，，
所以预测该生的第九次成绩约为135.2.
18.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）由是，的等差中项得，
所以，解得，
由，得，解得或，因为，所以.
所以，.
（2）由（1）可得，.
所以
，
所以
.
19.如图，四边形是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离。
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知，，可得平面，即可证明结论；
（2）过做，交于，连，根据（1）可得平面，得到为异面直线与直线所成的角，在求出，中可得出，，求出，，用等体积法，即可求解。
【详解】
（1）∵，，，
∴平面，
∵平面，∴.
（2）过做，交于，连，
，，∴为中点，
∵平面，平面，∴，
∴为异面直线与直线所成的角，
∴，在中，由余弦定理得，
，
∴，，，∴
在中，，
∴，
∴，
，
设点到平面的距离为，，
，∴，-
∴点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平面的距离，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20.（本题满分12分）已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点.
（Ⅰ）若为线段的中点，求直线的方程；
（Ⅱ）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标。
解：（Ⅰ）设，，则①，②.
①-②，得.
又因为是线段的中点，所以
所以，.
又直线过，所以直线的方程为；…………………………5分
（Ⅱ）依题设，直线的方程为，即，
亦即，代入抛物线方程并化简得.
所以，…………………………………………7分
于是，，.
同理，，.…………………………………………9分
易知，所以直线的斜率.
故直线的方程为，
即.此时直线过定点.
故直线恒过定点.…………………………………………12分
21.（本题满分12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求证：.
解：（Ⅰ）函数定义域为，，
令得，令得，
故在单调递增，在单调递减. ……………………4分
（Ⅱ），不妨设，则，，
要证：，即证：……（*），
而，令，，
（*）等价于，，………………8分
设，，
，
令，
∵在恒成立，
则在单调递增，故，故在单调递增，
故，故原命题得证.……………………12分
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，、均异于原点，且，求实数的值.
解：（1）曲线的参数方程为，消去参数，
可得曲线的普通方程为：
故：曲线的极坐标方程为，∴
又故：的直角坐标方程为：.
（2）曲线化为极坐标方程为
设点，，依题设知，
所以
由知
因为，故或
23.已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）由，得，
∴，得不等式的解为
（Ⅱ），
，
∵对任意的均存在，使得成立，
∴，
∴，解得或，
即实数的取值范围为：或.