2020届高考理科数学二轮专题复习课件：专题7 选修4系列2-7-1 37页

第 1 课时　 坐标系与参数方程 考向一　极坐标方程及其应用 【例 1 】 (2017· 全国卷 Ⅱ) 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcos θ=4. (1)M 为曲线 C 1 上的动点 , 点 P 在线段 OM 上 , 且满足 |OM|·|OP|=16 ① , 求点 P 的轨迹 C 2 的 直角坐标方程 ② . (2) 设点 A 的极坐标为 点 B 在曲线 C 2 上 , 求 △OAB 面 积的最大值 ③ . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到设出点 P 及 M 的极坐标 , 结合曲线 C 1 的极坐标方程 , 求点 P 的极坐标方程 ② 利用互化公式求出直角坐标方程 ③ 想到利用三角函数的有界性求最值 【解析】 (1) 设点 P 的极坐标为 (ρ′,θ)(ρ′>0), 点 M 的极坐标为 (ρ 0 ,θ)(ρ 0 >0), 由题设知 |OP |=ρ′, |OM|=ρ 0 , 由 |OM| · |OP|=16 得 C 2 的极坐标方程 ρ′= 4cos θ(ρ′>0), 因此 C 2 的直角坐标方程为 (x-2) 2 + y 2 =4(x≠0). (2) 设点 B 的极坐标为 (ρ B ,α)(ρ B >0), 由题设知 |OA |=2,ρ B =4cos α, 于是 △OAB 的面积 S= |OA | · ρ B · sin∠AOB=4cos α · 当 α=- 时 ,S 取得最大值 2+ 所以 △OAB 面积的最大值为 2+ 【拓展提升】 求解与极坐标有关的问题的主要方法 (1) 直接利用极坐标系求解 , 可与数形结合思想配合使用 . (2) 转化为直角坐标系 , 用直角坐标求解 . 若结果要求的是极坐标 , 还应将直角坐标化为极坐标 . 【变式训练】 在极坐标系中 , 已知极坐标方程 C 1 : -1 =0,C 2 :ρ=2cos θ. (1) 求曲线 C 1 ,C 2 的直角坐标方程 , 并判断两曲线的形状 . (2) 若曲线 C 1 ,C 2 交于 A,B 两点 , 求两点间的距离 . 【解析】 (1) 由 C 1 :ρcos θ- ρsin θ-1=0, 所以 x- y-1=0, 表示一条直线 . 由 C 2 :ρ=2cos θ, 得 ρ 2 =2ρcos θ. 所以 x 2 +y 2 =2x, 则 (x-1) 2 +y 2 =1, 所以 C 2 是圆心为 (1,0), 半径 r=1 的圆 . (2) 由 (1) 知 , 点 (1,0) 在直线 x- y-1=0 上 , 因此直线 C 1 过圆 C 2 的圆心 . 所以连接两交点 A,B 的线段是圆 C 2 的直径 , 因此两交点 A,B 间的距离 |AB|=2r=2. 考向二　参数方程及其应用 【例 2 】 (2018· 全国卷 Ⅲ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , ☉ O 的参数方程为 ① , 过点 且倾斜角为 α 的直线 l 与☉ O 交于 A,B 两点 . 世纪金榜导 学号 (1) 求 α 的取值范围 ② . (2) 求 AB 中点 P 的轨迹的 参数方程 ③ . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到利用同角三角函数基本关系式消参数 ② 想到利用点到直线距离公式与半径的关系求解 ③ 求出直线 AB 的参数方程结合根与系数的关系求解 【解析】 (1) ☉ O 的直角坐标方程为 x 2 +y 2 =1. 当 α= 时 , l 与☉ O 交于两点 . 当 α≠ 时 , 记 tan α=k, 则 l 的方程为 y=kx- l 与 ☉ O 交于两点当且仅当 <1, 解得 k<-1 或 k>1, 即 α∈ 或 α∈ 综上 ,α 的取值范围是 (2) l 的参数方程为 (t 为参数 , <α< ). 设 A,B,P 对应的参数分别为 t A ,t B ,t P , 则 t P = 且 t A ,t B 满足 t 2 -2 tsin α+1=0. 于是 t A +t B =2 sin α,t P = sin α. 又点 P 的坐标 (x,y) 满足 所以点 P 的轨迹的参数方程是 (α 为参数 , <α< ). 【拓展提升】 1. 将参数方程化为普通方程的方法 将参数方程化为普通方程 , 需要根据参数方程的结构特征 , 选取适当的消参方法 . 常见的消参方法有 : 代入消参法、加减消参法、平方消参法等 , 对于含三角函数的参数方程 , 常利用同角三角函数关系式消参 , 如 sin 2 θ+ cos 2 θ=1. 2. 将普通方程化为参数方程的方法 (1) 只要适当选取参数 t, 确定 x= φ (t), 再代入普通方程 , 求得 y=ψ(t), 即可化为参数方程 (2) 选取参数的原则是 :① 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单 ;② 当参数取某一值时 , 可以唯一确定 x,y 的值 . 一般地 , 与时间有关的问题 , 常取时间作参数 ; 与旋转有关的问题 , 常取旋转角作参数 . 此外也常常用线段的长度 , 直线的倾斜角、斜率、截距等作参数 . 【变式训练】 已知在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 直线 l 经过定点 P(3,5), 倾斜 角为 (1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程 . (2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点 , 求 |PA|·|PB| 的值 . 【解析】 (1) 曲线 C 的标准方程为 (x-1) 2 +(y-2) 2 =16, 直 线 l 的参数方程为 (t 为参数 ). (2) 将直线 l 的参数方程代入圆 C 的标准方程可得 t 2 + (2+3 )t-3=0, 设 t 1 ,t 2 是方程的两个根 , 则 t 1 t 2 =-3, 所以 |PA| · |PB|=|t 1 ||t 2 |=|t 1 t 2 |=3. 考向三　极坐标与参数方程的综合应用 【例 3 】 (2016· 全国卷 Ⅲ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的 参数方程为 ① , 以坐标原点为极 点 , 以 x 轴的正半轴为极轴 , 建立极坐标系 , 曲线 C 2 的 极 坐标方程为 ② . 世纪金榜导学号 (1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程 . (2) 设点 P 在 C 1 上 , 点 Q 在 C 2 上 , 求 |PQ| 的最小值 ③ 及此时 P 的直角坐标 . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到利用同角三角函数基本关系式消参数 ② 想到利用互化公式求直角坐标方程 ③ 想到利用三角函数的性质求最值 【解析】 (1) 因为 ρsin ρsin θ+ ρcos θ=2 所以 x+y=4. 所以 C 1 的普通方程为 +y 2 =1,C 2 的直角坐标方程为 x+y=4. (2) 由题意 , 可设点 P 的直角坐标为 因为 C 2 是直线 , 所以 |PQ| 的最小值即为 P 到 C 2 的距离 d(α) 的最小值 ,d(α)= 当且仅当 α=2kπ+ (k∈Z) 时 ,d(α) 取得最小值 , 最 小值为 此时 P 的直角坐标为 【拓展提升】 转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中 , 最能体现坐标法的解 题优势 , 灵活地利用坐标法可以使问题得到简洁解答 . 例如 , 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价 转化为直角坐标方程 , 然后在直角坐标系下对问题进行求解是一种常见的解题方法 , 对应数学问题求解的“化生为熟”原则 , 充分体现了转化与化归的数学思想 . 【变式训练】 (2019· 哈尔滨一模 ) 已知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 以坐标原点 O 为极点 ,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系 , 直线 l 的极坐标方程为 ρsin =4. (1) 写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程 . (2) 若射线 θ= 与曲线 C 交于 O,A 两点 , 与直线 l 交于 B 点 , 射线 θ= 与曲线 C 交于 O,P 两点 , 求 △PAB 的面积 . 【解析】 (1) 由 (θ 为参数 ), 消去 θ. 普通方程为 (x-2) 2 +y 2 =4. 从而曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 -4ρcos θ=0, 即 ρ= 4cos θ, 因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin =4, 即 ρsin θ+ ρcos θ=4, 所以直线 l 的直角坐 标方程为 x+ y-8=0. (2) 依题意 ,A,B 两点的极坐标分别为 联立射线 θ= 与曲线 C 的极坐标方程 , 得 P 点极坐标为 所以 |AB|=2, 所以 S △PAB = ×2×2 sin