2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(十)　推理与证明 6页

‎ 板块命题点专练(十)　推理与证明 ‎ ‎(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)‎ 命题点一　合情推理与演绎推理 命题指数：☆☆☆‎ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 ‎1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________．‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一个城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ ‎3．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　N(n,3)＝n2＋n，‎ 正方形数 N(n,4)＝n2，‎ 五边形数 N(n,5)＝n2－n，‎ 六边形数 N(n,6)＝2n2－n，‎ ‎……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.‎ 命题点二　直接证明与间接证明 命题指数：☆☆☆☆☆‎ 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中题型：解答题 ‎1．(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n项和 Sn＝，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an} 的通项公式；‎ ‎(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N* ，使得 a1，an，am成等比数列．‎ ‎2．(2014·北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A‎1C1，BC的中点．‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1 ；‎ ‎(2)求证：C‎1F∥平面ABE ；‎ ‎(3)求三棱锥EABC的体积．‎ 命题点三　数学归纳法 命题指数：☆☆‎ 难度：高 题型：解答题 ‎(2014·江苏高考)已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.‎ ‎(1)求‎2f1＋f2的值；‎ ‎(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋fn＝都成立．‎ 答案 命题点一 ‎1．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.‎ 答案：F＋V－E＝2‎ ‎2．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．‎ 答案：A ‎3．解析：由N(n,3)＝n2＋n，‎ N(n,4)＝n2＋n，‎ N(n,5)＝＋n，‎ N(n,6)＝n2＋n，‎ 推测N(n，k)＝n2－n，k≥3.从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000.‎ 答案：1 000‎ 命题点二 ‎1．解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．‎ 所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2.‎ ‎(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，‎ 只需要a＝a1·am，‎ 即(3n－2)2＝1·(‎3m－2)，‎ 即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.‎ 所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎2．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B‎1C1中，BB1⊥底面ABC.‎ 所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，‎ 所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 又AB⊂平面ABE.‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明：取AB中点G，连结EG，FG.‎ 因为E，F分别是A‎1C1，BC的中点，‎ 所以FG∥AC，且FG＝AC.‎ 因为AC∥A‎1C1，且AC＝A‎1C1，‎ 所以FG∥EC1，且FG＝EC1.‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形．‎ 所以C‎1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE，C‎1F⊄平面ABE，‎ 所以C‎1F∥平面ABE.‎ ‎(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，‎ 所以AB＝＝.‎ 所以三棱锥EABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.‎ 命题点三 解：(1)由已知，‎ 得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，‎ 于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，‎ 所以f1＝－，f2＝－＋.‎ 故‎2f1＋f2＝－1.‎ ‎(2)证明：由已知，得xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，‎ 即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin，‎ 类似可得 ‎2f‎1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，‎ ‎3f‎2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，‎ ‎4f‎3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．‎ 下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．‎ ‎①当n＝1时，由上可知等式成立．‎ ‎②假设当n＝k时等式成立，‎ 即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.‎ 因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)‎ ‎＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，‎ ′＝cos·′＝sin，‎ 所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.‎ 因此当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．‎ 令x＝，‎ 可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)．‎ 所以＝(n∈N*)．‎