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- 2021-04-13 发布
2019-2020学年江苏省常州市教学研究合作联盟高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题）
1. 已知集合2，4，，6，，的子集个数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 函数的定义域为
A. B. C. D.
3. 已知函数与分别由表给出，则
x
1
2
3
4
3
9
x
2
3
4
2
1
3
A. 4 B. 1 C. 3 D. 9
4. 己知函数，且的图象恒过定点A，则A的坐标为
A. B. C. D.
5. 函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
6. 函数的大致图象为
A. B.
C. D.
7. 若幂函数的图象经过点，则
A. 9 B. C. 3 D.
8. 已知，，，则
A. B. C. D.
9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则
A. B. C. D. 15
10. “弯弓射雕”描述的是游牧名族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒是弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为
A. 135米 B. 160米 C. 175米 D. 180米
11. 已知函数的定义域为R，对于任意，都满足，且对于任意的a，，当时，都有，若，则实数x的取值范围是
A. ． B.
C. ． D. ．
1. 已知函数，，两者的定义域都是I，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为
A. 3 B. C. D. 13
二、填空题（本大题共4小题）
2. 若集合，，且，则实数m的取值范围为______．
3. 已知函数在R上为偶函数，且，时，，则当时，______．
4. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是______．
5. 已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题）
6. 已知，化简：；
求值：．
7. 设，，．
若，求；
若，求实数a的取值范围．
8. 已知函数是奇函数．
求实数m的值；
求证：函数在上是单调增函数．
9.
甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元甲、乙两商场销售方武如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的销售．
分别写出在甲、乙两商场购买x双运动鞋所需费用的函数解析式和．
某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？
1. 已知函数．
当时，作出函数的图象；
是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由．
2.
对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足；
在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．
求证：是函数的一个“优美区间”．
求证：函数不存在“优美区间”．
已知函数有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2，4，，6，，
，
的子集个数为个．
故选：C．
进行交集的运算即可求出，从而得出的元素个数为2，进而得出的子集个数为个．
本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知，，
解可得，，即函数的定义域为．
故选：B．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目
3.【答案】A
【解析】解：由题意得：
，
．
故选：A．
推导出，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由得，此时，
即函数过定点，
故选：C．
根据指数函数的性质，令幂指数为0，进行求解即可求出定点坐标．
本题主要考查指数函数过点定点的性质，利用的性质是解决本题的关键．比较基础．
5.【答案】B
【解析】解：函数是连续函数，
，，
根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是
故选：B．
确定，，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：定义域，排除A，C；
当时，为减函数，故排除B，
故选：D
．
先由定义域，排除A，C；再根据时，为减函数，故排除B，选D．
本题考查了对函数图象，通过对函数性质的探究，排除不合题意的选项，可得出正确结果，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设幂函数，
其图象过点，则，
，
所以；
所以．
故选：D．
设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出的解析式，再计算的值．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：，，
，，
，，
，
故选：A．
利用对数函数和指数函数的单调性求出a，b，c的范围，从而比较出大小．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
9.【答案】C
【解析】解：是定义在R上的奇函数，且当时，，
则．
故选：C．
由，结合已知代入即可求解．
本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值，属于基础试题．
10.【答案】D
【解析】解由题意可知，，当，，
代入可得，
解可得，，，
根据二次函数的性质可知，开口向下，对称轴，
故当时，函数取得最大值180．
故选：D．
把，，代入已知函数可求a，然后根据二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次函数的最值的求解，属于基础试题．
11.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数的定义域为R，对于任意，都满足，即函数为偶函数，
对于任意的a
，，当时，都有，即在区间上为减函数，
又由为偶函数，则在上增函数，
故，
解可得：或，
即不等式的解集为；
故选：D．
根据题意，分析可得为偶函数且在上增函数，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：，
当且仅当，即时，等号成立．
在处取得最小值3；
又与是定义在区间上的“兄弟函数”，
在处取得最小值3；
．
函数在区间的最大值为．
故选：C．
化简由基本不等式可判断在处取得最小值3；从而可知在处取得最小值3，再由二次函数的顶点式写出，从而求函数的最大值．
本题考查函数的最值，考查新定义，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，
且，
即．
故答案为：．
由题意可知，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础试题．
14.【答案】
【解析】解：设则，
在R上为偶函数，且，时，，
，
故答案为：．
先设则，根据在R上为偶函数，且，时，，代入即可求解．
本题考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，在上是单调递增函数，符合题意，
当时，结合二次函数的性质可知，，
解可得，，
综上可得，a的范围为．
故答案为．
对a的值是否为0进行分类讨论，分别结合一次函数与二次函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用．
16.【答案】
【解析】解：时，，化为：，，．
时，，
化为：，
，．
综上可得：．
实数a的取值范围是．
故答案为：．
根据分段函数，通过分离参数，利用二次函数的单调性即可得出实数a的取值范围．
本题考查了函数的单调性、分段函数的性质、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
，
；
，
，
．
【解析】结合已知及根式的几何意义即可化简求值，
结合对数的运算性质及对数恒等式即可进行化简．
本题考查的知识点是指对数的运算性质，熟练掌握指数与对数的运算性质是解答对数化简求值类问题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由，可求，然后求解A，结合集合的基本运算可求，
由，可得，结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
19.【答案】解：法一：解：定义域为，
是奇函数，
对于定义域内的任意x恒成立．
，
，
，
，
该式对于定义域中的任意x
都成立，即，
法二：定义域为，
是奇函数，
，
，解得，
检验：当时，，定义域为关于原点对称，
，
是奇函数，
证明：在内任取，，，
，
，，，
，
在上单递增．
【解析】法一：根据奇函数的性质可知恒成立，代入即可求解m；
法二：由是奇函数，可知，代入可求m．
根据单调性的定义即可判断在区间上的单调性并证明．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．
20.【答案】解：由可得当且时，去甲商场购买的单价为元，
当且时，去甲商场购买的单价为440元．去乙商场购买单价一直为元．
，
当且时，；
当且时，
由解得且；
由解得；
由解得且，
综上：当且时，；
当时，；
当且时，．
答：，
若单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少．
【解析】当且时，去甲商场购买的单价为元，当且时，去甲商场购买的单价为440元．去乙商场购买单价一直为元．然后列出函数的解析式；
通过当且时，；当且时，推出当且时，；当时，；当且时，得到结论．
本题考查实际问题的处理方法，分段函数的应用没看出分析问题解决问题的能力，是中档题．
21.【答案】解：当时，
假设存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，，．
当时，，
对称轴方程为，，，在上单调递增，
，，．
当时，，不可能有最小值舍去，
当时，
，
对称轴方程为，
，，
当即时，，，，
又，舍去．
当即时，，
，．
综上：或．
【解析】去掉绝对值符号，化简函数为分段函数，然后画出函数的图象即可．
假设存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，．
当时，求解，推出．
当时，说明不可能有最小值舍去，
当时，当时，没有a满足题意；当时，，可求出．
本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力，是难题．
22.【答案】解：在区间上单调增．
又，，值域为，
区间是的一个“优美区间”．
设是已知函数定义域的子集．
，，或，，
函数在上单调递减．
若是已知函数的“优美区间”，则，
由得：，，
，，．
代入等式不成立，函数不存在优美区间．
设是已知函数定义域的子集．
，，或，，
函数在上单调递增．
若是已知函数的“优美区间”，则，
、n是方程，即的两个同号且不等的实数根．
，
，n同号，只须，
即或，
，
当时，取最大值．
【解析】通过在区间上单调增．利用新定义判断即可．
利用新定义是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可．
设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明m、n
是方程的两个同号且不等的实数根．转化求解取最大值．
本题考查新定义的应用，函数椭圆方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．