2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二上学期期中数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用抛物线的定义即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意设抛物线的方程为，因焦点坐标为，则，‎ ‎，‎ 抛物线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及的值是关键，属于基础题．‎ ‎2．圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．‎ ‎【详解】‎ 由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高，‎ 所以此圆锥的体积.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.‎ ‎3．如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（‎ ‎-）等于 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由向量的线性运算的法则计算．‎ ‎【详解】‎ ‎-＝，，‎ ‎∴+（-）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．‎ ‎4．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=‎ A．–4 B．–2 C．4 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.‎ ‎【考点】函数的导数与极值点 ‎【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.‎ ‎5．如图，正方体中，、分别是边和的中点，则和所成的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据异面直线所成角的定义，把直线平移和直线相交，找到异面直线与所成的角，解三角形即可求得结果．‎ ‎【详解】‎ 如图，取的中点，连接，，‎ 在正方体中，设正方体边长为2，‎ 易证（或补角）为异面直线与所成的角，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得，即，‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．‎ ‎6．将等腰直角三角形沿底边上的高线折成的二面角，则折后的直线与平面所成角的正弦值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据翻折易知直线与平面所成角为，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 将等腰直角三角形沿底边上的高线折成的二面角，如图所示：‎ ‎ ‎ 在等腰直角三角形中，，‎ 易知直线与平面所成角为，又，，‎ 所以为正三角形，故，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎7．已知是不同的直线，是不同的平面，若，，，则下列命题中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造长方体中的线、面与直线相对应，从而直观地发现成立，其它情况均不成立.‎ ‎【详解】‎ 如图在长方体中，‎ 令平面为底面，平面为平面，直线为 若直线为直线，此时，且，故排除A,B,D；‎ 因为，，所以内存在与平行的直线，且该直线也垂直，由面面垂直的判定定理得：，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.‎ ‎8．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中的关系，列出方程，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 由双曲线知，，焦点在轴上，所以 依据椭圆与双曲线中的关系可得，，解得，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用。‎ ‎9．如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在（ ） ‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．内部 ‎【答案】A ‎【解析】由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A ‎10．已知圆的方程为，其中为常数，过圆内一点的动直线与圆交于，两点，当最小时，直线的方程为，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点的直线与直线垂直，再由斜率的关系列式求解．‎ ‎【详解】‎ 将圆：化为，‎ 圆心坐标为，半径，如图：‎ 由题意可得，过圆心与点的直线与直线垂直时，最小，‎ 此时，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎11．当时，函数，则下列大小关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对函数进行求导得出在上单调递增，而根据即可得出，从而得出，从而得出选项．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ 由于时，，函数在上单调递增，‎ 由于，故，所以，‎ 而，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.‎ ‎12．过双曲线：的左顶点作斜率为1的直线，若与双曲线的渐近线分别交于、两点，且，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据双曲线方程，得渐近线方程为或，设过左顶点的直线的方程为，与渐近线方程联立解得，的横坐标关于的式子，由得为的三等分点，利用向量坐标运算建立关于的方程并解之可得，由此算出，即可得到双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，所以直线的方程为，‎ 因双曲线的方程为，则两条渐近线方程为或，‎ 由，解得，同理可得，‎ 因，又，，‎ ‎，解得，‎ 在双曲线中，，‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出双曲线的渐近线与过左顶点的直线相交于，两点且为的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【详解】‎ 依题意得，因此曲线在点处的切线的斜率，‎ 所以相应的切线方程为，‎ 当时，；当时，；‎ 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知是椭圆：上一点，若不等式恒成立，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据题意设，即，，‎ 代入不等式得：恒成立， 即恒成立，又，‎ ‎，即，‎ 故的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题.‎ ‎15．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是腰长为的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为，进而可得外接球的半径，即可得表面积.‎ ‎【详解】‎ 由题意知该直三棱柱是底面的腰长为的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为，‎ 所以该“堑堵”的外接球的半径，故外接球的表面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.‎ ‎16．设，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设（其中，则），其几何意义为两点，的距离的平方，令，，‎ 则，而是抛物线上的点到准线的距离，从而可以看作抛物线上的点到焦点距离和到上的点的距离的和，即的最小值是点到上的点的距离的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设（其中，则），其几何意义为两点，的距离的平方，令，，‎ 由的导数为，，‎ 点在曲线上，又，‎ 令，，‎ 则，而是抛物线上的点到准线的距离，即抛物线上的点到焦点的距离，‎ 从而可以看作抛物线上的点到焦点距离和到上的点的距离的和，即，如图所示：‎ 由两点之间线段最短，得的最小值是点到上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则就最小，即最小，‎ 设，则，即，解得，即 点到的距离就是点到上的点的距离的最小值，‎ 故的最小值为，即的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】（1）由题意可得，，从而平面 ‎，由此即可得证；‎ ‎（2）由题意可得，进而可得平面，又，即可得平面，由此即可得证平面平面.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）∵矩形，∴，‎ 又∵，且，平面，∴平面，‎ 又∵平面，∴.‎ ‎（2）∵矩形，∴，又平面，平面，∴平面.又∵，平面，平面.∴平面，又，平面，∴平面平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18．已知圆经过点，且与直线相切，圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）点在直线上，过点作圆的两条切线，分别与圆切于、两点，求四边形周长的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意设，半径为，则圆的方程为，由题意圆经过点，且与直线相切，得到关于，的方程解得即可；‎ ‎（2）由题意得：四边形周长，其中，利用点到直线的距离即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为圆心在直线上，所以可设，半径为，‎ 则圆的方程为；又圆经过点，且与直线相切，‎ 所以，解得，所以圆的方程为.‎ ‎（2）由题意：四边形周长，其中， ‎ 即取最小值时，此时周长最小，又因在直线上，即圆心到直线的距离时，的最小值为，‎ 所以周长，‎ 故四边形周长的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.‎ ‎19．2109年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）‎ ‎（1）求胶囊中药物的体积关于的函数关系式；‎ ‎（2）如何设计与的长度，使得最大？‎ ‎【答案】(1) ，. (2) 为毫米，为毫米 ‎【解析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积关于 的函数关系式；‎ ‎（2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得，，所以，‎ 所以药物体积，.‎ ‎（2）求导得，令，得或（舍），‎ 当，，在区间上单调增，‎ 当，，在区间上单调减，‎ 所以当时，有最大值，此时，，‎ 答：当为毫米，为毫米时，药物的体积有最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎20．如图，三棱柱中，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，平面平面，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】（1）利用已知条件证四边形为平行四边形即可得平面；‎ ‎（2）利用几何关系作出二面角的平面角，利用解三角形即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）取的中点，连接，，‎ ‎∵，，∴，.‎ 在三棱柱中，∵，.‎ ‎∴，且.∵为的中点，∴.‎ ‎∴，且.∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，∵平面，平面，∴平面.‎ 其他方法：‎ ‎（2）∵，是中点，∴.又∵三棱柱，‎ ‎∴，∴，又∵平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴，，‎ 为二面角的平面角，如图：‎ 在三角形中，，，∴中线，‎ ‎，‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）当，时，求函数在上的最小值；‎ ‎（2）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】（1）当，时，求出函数的导数，通过函数在区间上单调递减；在上单调递增，求得最小值；‎ ‎（2）当时，，得到，是方程的两根，从而，，推出的表达式，记，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，时，，，则，‎ ‎∴当时，；当时，，∴在上单调递减；在上单调递增，∴.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴，是方程的两根，∴，，‎ ‎∵且，，∴，，‎ ‎∴，‎ 令，则，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.‎ ‎22．如图，为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于、两点，是的中点.‎ ‎（1）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值；‎ ‎（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于、两点，求的值，使得的面积最大.‎ ‎【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意可求，设、，：，联立直线与抛物线，利用是的中点得，计算可得点的横坐标是定值；‎ ‎（2）由题意设直线的方程为，联立方程，利用是 的中点，可得，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求的面积最大值，由取等条件解得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），过的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，设：，其中是斜率的倒数，设、，满足，即，且，因为是中点，所以，所以，，‎ 所以，即点的横坐标为定值1.‎ ‎（2）直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率和的斜率互为相反数.设直线为，即，‎ 联列方程得，‎ ‎，所以；且，‎ ‎∵点是中点，∴，‎ 设到的距离，，‎ ‎，令，‎ 当且仅当，时取到，‎ 所以，.‎ 法二：因为点在抛物线上，不妨设，又是中点，则，代入抛物线方程得：，得：，∴为定值.‎ ‎（2）∵直线的斜率，直线斜率，‎ ‎∴直线的方程：，即，令代入椭圆方程整理得：‎ ‎，设、，下同法一.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．‎