2019届二轮复习（理）专题二函数与导数2-2函数与方程及函数的应用课件（19张）（全国通用） 19页

2.2 　函数与方程及函数的应用 - 2 - - 3 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 函数零点的求解与判定 【思考】 确定函数零点的常用方法有哪些? 例 1 若 函数 其中 m< 0,则方程 f ( -f ( x )) = 1的实数根的个数为( 　　 ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 4 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思 确定函数零点的常用方法 : (1) 解方程判定法 , 方程易求解时用此法 ; (2) 函数 零点存在的判定定理法 , 常常要结合函数的性质、导数等知识 ; (3) 数形结合法 , 如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题 , 常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解 . - 5 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练 1 函数 f ( x ) = 2 x | log 0 . 5 x|- 1 的零点个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 6 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 函数零点的应用 【思考】 如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围? 例 2 已知 函数 f ( x ) =a e 2 x + ( a- 2)e x -x. (1)讨论 f ( x )的单调性; (2)若 f ( x )有两个零点,求 a 的取值范围 . - 7 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解 : (1) f ( x ) 的定义域为 ( -∞ , +∞ ), f' ( x ) = 2 a e 2 x + ( a- 2)e x - 1 = ( a e x - 1)(2e x + 1) . ( ⅰ ) 若 a ≤ 0, 则 f' ( x ) < 0, 所以 f ( x ) 在区间 ( -∞ , +∞ ) 单调递减 . ( ⅱ ) 若 a> 0, 则由 f' ( x ) = 0 得 x=- ln a. 当 x ∈ ( -∞ , - ln a ) 时 , f' ( x ) < 0; 当 x ∈ ( - ln a , +∞ ) 时 , f' ( x ) > 0, 所以 f ( x ) 在区间 ( -∞ , - ln a ) 单调递减 , 在区间 ( - ln a , +∞ ) 单调递增 . (2)( ⅰ ) 若 a ≤ 0, 由 (1) 知 , f ( x ) 至多有一个零点 . ( ⅱ ) 若 a> 0, 由 (1) 知 , 当 x=- ln a 时 , f ( x ) 取得最小值 , 最小值为 f ( - ln a ) = 1 - + ln a. ① 当 a= 1 时 , 由于 f ( - ln a ) = 0, 故 f ( x ) 只有一个零点 ; ② 当 a ∈ (1, +∞ ) 时 , 由于 1 - + ln a> 0, 即 f ( - ln a ) > 0, 故 f ( x ) 没有零点 ; - 8 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 - 9 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思 解决由函数零点 ( 方程根 ) 的存在情况求参数的值或取值范围问题 , 关键是利用函数方程思想或数形结合思想 , 构建关于参数的方程或不等式求解 . 对于存在函数的零点求参数取值范围的问题 , 可通过分离参数 , 转化为求函数的最值问题 . - 10 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练 2 (2018 全国 Ⅰ , 理 9)已知函数 g ( x ) =f ( x ) +x+a ,若 g ( x )存在两个零点,则 a 的取值范围是( 　　 ) A . [ - 1,0) B . [0, +∞ ) C . [ - 1, +∞ ) D . [1, +∞ ) C 解析 要使得方程 g ( x ) =f ( x ) +x+a 有两个零点 , 等价于方程 f ( x ) =-x-a 有两个实根 , 即函数 y=f ( x ) 的图象与直线 y=-x-a 有两个交点 , 由图象可知 , 必须使得直线 y=-x-a 与直线 y=-x+ 1 重合或位于直线 y=-x+ 1 的下方 , 所以 -a ≤ 1, 即 a ≥ - 1 . 故选 C . - 11 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 函数的实际应用 【思考】 应用函数模型解决实际问题的一般程序是怎样的? 例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) . 设该蓄水池的底面半径为 r m,高为 h m,体积为 V m 3 . 假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元 / 平方米,底面的建造成本为160元 / 平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000 π 元( π 为圆周率) . (1)将 V 表示成 r 的函数 V ( r ),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V ( r )的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 . - 12 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解： (1) 因为蓄水池侧面的总成本为 100 · 2π rh= 200π rh ( 元 ), 底面的总成本为 160π r 2 元 , 所以蓄水池的总成本为 (200π rh+ 160π r 2 ) 元 . 又根据题意 200π rh+ 160π r 2 = 12 000π, - 13 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思 应用函数模型解决实际问题 : 首先 , 要正确理解题意 , 将实际问题化为数学问题 ; 其次 , 利用数学知识如函数、导数、不等式 ( 方程 ) 解决数学问题 ; 最后 , 回归到实际问题的解决上 . 其一般 程 序为 - 14 - 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练3 某食品的保鲜时间 y (单位:h)与储藏温度 x (单位: ℃ )满足函数关系 y= e kx+b (e = 2 . 718 … 为自然对数的底数, k , b 为常数) . 若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192 h,在22 ℃ 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃ 的保鲜时间是 　　　　　 h .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 15 - 规律总结 拓展演练 1 . 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的参数的取值范围问题时 , 数形结合是基本的解题方法 , 即首先把方程分拆为一个等式 , 使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式 , 然后构造两个函数 f ( x ), g ( x ), 即把方程写成 f ( x ) =g ( x ) 的形式 , 这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数 , 可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系 . 2 . 二次函数 y=a ( x-h ) 2 +k ( a ≠0), x ∈ [ p , q ] 的最值问题实际上是函数在 [ p , q ] 上的单调性问题 . 常用方法 :(1) 注意是 “ 轴动区间定 ”, 还是 “ 轴定区间动 ”, 找出分类的标准 ;(2) 利用导数知识 , 最值可以在端点和极值点处寻找 . 3 .f ( x ) ≥ 0 在 [ p , q ] 上恒成立问题 , 等价于 f ( x ) min ≥ 0, x ∈ [ p , q ] . - 16 - 规律总结 拓展演练 1 . 下列函数中 , 既是偶函数又存在零点的是 ( 　　 ) A .y= ln x B .y=x 2 + 1 C .y= sin x D .y= cos x 答案 解析 解析 关闭 y= ln x 既不是奇函数也不是偶函数 ; y=x 2 + 1 是偶函数 , 但不存在零点 , 不满足要求 ; y= sin x 是奇函数不满足要求 ; y= cos x 是偶函数 , 由其图象可知有无数个零点 . 故选 D . 答案 解析 关闭 D - 17 - 规律总结 拓展演练 2 . 函数 f ( x ) = 2 x -x- 的一个零点所在的区间是 ( 　　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 18 - 规律总结 拓展演练 3 . 某公司为激励创新 , 计划逐年加大研发资金投入 . 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元 , 在此基础上 , 每年投入的研发资金比上一年增长 12%, 则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ( 　　 )( 参考数据 :lg 1 . 12≈0 . 05,lg 1 . 3≈0 . 11,lg 2≈0 . 30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 19 - 规律总结 拓展演练 4 . 已知函数 其中 m> 0 . 若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 f ( x ) =b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 　　　　　 .   答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭