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- 2021-04-13 发布
课时作业(六十八) [第68讲 几何证明选讲]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．如图K68－1，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.则AC的长为________．
图K68－1
图K68－2
2． 如图K68－2，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则cos∠ACB的值为________．
3．如图K68－3所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F分别为BD的三等分点，则BM－DN＝________.
图K68－3
图K68－4
4．如图K68－4所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线PT，T为切点，作⊙O的割线PAB，已知PA＝2，PT＝4，则弦AB的长为________．
5．已知圆的直径AB＝13 cm，C是圆周上一点(不同于A，B点)，CD⊥AB于D，CD＝6 cm，则BD＝________.
图K68－5
6． 在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，该图K68－6中共有x个三角形与△ABC相似，则x＝________.
图K68－6
图K68－7
7． 如图K68－7，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE︰AC＝3︰5，DE＝6，则BF＝________.
8．如图K68－8，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________.
图K68－8
图K68－9
9． 如图K68－9，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则＝________.
10． 如图K68－10，已知三角形ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠B＝60°，BE＝BD，则∠CED＝________.
图K68－10
图K68－11
11． 如图K68－11，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝2，BC＝，∠CAB＝，则∠AOB对应的劣弧长为________．
图K68－12
12． 如图K68－12，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，圆O经过B、C且与AB、AC相交于D、E.若AE＝EC＝2，则AD＝________，圆O的半径r＝________.
图K68－13
13．如图K68－13，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝________.
14．(10分) 如图K68－14，圆O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，HB＝2，延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C.
(1)求DE的长；
(2)若PC＝2，求PD的长．
图K68－14
15．(13分)如图K68－15，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E为CD延长线上一点，连接AE，过B作BG⊥AE于G，交CE于F，求证：CD2＝ED·FD.
图K68－15
16．(12分) 如图K68－16，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C.
(1)求证：PA＝PC；
(2)若圆O的半径为3，OP＝5，求BC的长度．
图K68－16
课时作业(六十八)
【基础热身】
1．12 [解析] 因为EF∥CD，所以＝.因为AE＝6，ED＝3，AF＝8，所以＝，所以AC＝12.
2. [解析] 由射影定理得CD2＝CP·CA＝2×10，
∴CD＝2，
则cos∠ACB＝sin∠CAB＝sin∠D＝＝＝.
3．6 [解析] 因为E、F分别为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，所以M为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由
△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，所以BM－DN＝12－6＝6.
4．6 [解析] 根据切线长定理PT2＝PA·PB，
PB＝＝＝8，所以AB＝PB－PA＝8－2＝6.
【能力提升】
5．4 cm或9 cm [解析] 设BD＝x，连接AC、BC，由直角三角形中的射影定理得CD2＝(AB－x)x，即36＝(13－x)x，解得x＝4或x＝9.
6．2 [解析] 只有△ACD和△CBD两个三角形与△ABC相似．
7．4 [解析] 因为DE∥BC，则△ADE∽△ABC，所以＝，即＝，所以BC＝10.又DF∥AC，则四边形DECF是平行四边形，所以DE＝FC，故BF＝BC－FC＝BC－DE＝10－6＝4.
8．99° [解析] 连接OB，OC，AC，根据弦切角定理，可得
∠A＝∠BAC＋∠CAD＝(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
9. [解析] 过点D作DG∥BC交AF于点G，则∠EBF＝∠EDG.因为E是BD的中点，则BE＝DE，又∠BEF＝∠DEG，所以△BEF≌△DEG，则BF＝DG，所以＝，而D是AC的中点，则＝，所以＝.
10．30° [解析] 连接BH，由已知可得BH平分∠B，
∴∠EBH＝∠DBH＝30°，易求得∠EHD＝∠AHC＝120°，所以∠B＋∠EHD＝180°，∴B、D、H、E四点共圆，因此有∠CED＝∠DBH＝30°.
11. [解析] 连接CO，因为∠CAB＝，所以优弧BC所对的圆心角为，从而∠BOC＝，在等腰三角形BOC中可求得半径OB＝，因为AB＝2，所以△AOB为等腰直角三角形，所以∠AOB对应的劣弧长为.
12．3 [解析] 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，所以BC＝4，AB＝8，由割线定理得AE·AC＝AD·AB，所以AD＝＝3.因为∠C＝90°，连接BE，则BE是圆O的直径．所以BE＝＝2，所以圆O的半径r＝.
13．6 [解析] 连接AB，设CB＝AD＝x，则由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，∴62＋DE2＝122，∴DE＝6.
14．[解答] (1)因为AB为圆O的直径，AB⊥DE，所以DH＝HE，
由直角三角形的射影定理得
DH2＝AH·BH＝(10－2)×2＝16，所以DH＝4，DE＝8.
(2)因为PC切圆O于点C，
由切割线定理得PC2＝PD·PE，
即(2)2＝PD·(PD＋8)，得PD＝2.
15．[解答] 证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB，所以CD2＝AD·DB.
因为∠E＋∠EAD＝90°，∠ABG＋∠EAD＝90°，
所以∠E＝∠DBF，所以Rt△AED∽Rt△FBD，
所以＝，所以ED·FD＝AD·BD，
所以CD2＝ED·FD.
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：连接OA，
因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA.
因为PA与圆O相切于点A，
所以∠OAP＝90°，所以∠PAC＝90°－∠OAB.
因为OB⊥OP，所以∠BCO＝90°－∠OBA.
所以∠BCO＝∠PAC.
又因为∠BCO＝∠PCA，所以∠PCA＝∠PAC，
所以PA＝PC.
(2)假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N.
因为PA与圆O相切于点A，PMN是圆O割线，
所以PA2＝PM·PN＝(PO－OM)·(PO＋ON)．
因为OP＝5，OM＝ON＝3，
所以PA2＝(5－3)×(5＋3)＝16.
所以PA＝4.所以由(1)知PC＝PA＝4.所以OC＝5－4＝1.
在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋1＝10，
所以BC＝.