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- 2021-04-13 发布
第三节 不等式的性质及一元二次不等式
突破点一 不等式的性质
[基本知识]
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法Error!
(2)作商法Error!
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c ⇔
Error!⇒ac>bc
可乘性
Error!⇒acb＋d ⇒
同向同正可乘性 Error!⇒ac>bd>0 ⇒
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
可开方性 a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)
a，b 同为正数
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1
a<1
b.②a<0b>0,0b
d.④0b>0，m>0，则①b
ab－m
a－m(b－m>0)．②a
b>a＋m
b＋m；a
b0)．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若
1
a<
1
b<0，则
1
a + b<
1
ab. ( )
(2)若a
c>b
c，则 a>b.( )
(3)若 a>b，c>d，则 ac>bd.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．若 aa>ab，则实数 b 的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)
[典例感悟]
1．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M>N B．M≥N
C．M0，所以
M>N，故选 A.
2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a>b⇒ac>bc；②a>b⇒1
a<1
b；③a>b>0，
c>d>0⇒a
d>b
c；④a>b>1，c<0⇒ac0>b 时，②不正确．
由于 c>d>0，所以1
d>1
c>0，
又 a>b>0，所以a
d>b
c>0，③正确．
由于 a>b>1，当 x<0 时，axx2} Error! R
一元二次不等式 ax2＋bx
＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2} ∅ ∅
2.不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔Error!或Error!
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔Error!或Error!
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0.( )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax 2＋bx＋c>0 的解集为空
集．( )
(3)若不等式 ax2＋bx＋c≥0 对 x∈R 恒成立，则其判别式 Δ≤0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．不等式 1
x－1≥－1 的解集是________________．
解析：原不等式可化为 x
x－1≥0，
即 x(x－1)≥0，且 x－1≠0，解得 x>1 或 x≤0.
答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)
2．设 a<－1，则关于 x 的不等式 a(x－a)(x－1
a )<0 的解集是________________．
答案：(－∞，a)∪(1
a，＋∞)
3．不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是(－1
2，1
3)，则 a＋b 的值是________．
答案：－14
4．若不等式 ax2－ax＋1<0 的解集为∅，则实数 a 的取值范围为________．
答案：[0,4]
[全析考法]
考法一 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法和步骤
[例 1] (1)(2019·深圳月考)已知函数 f(x)＝Error!若 f(2－a 2)>f(a)，则实数 a 的取值范
围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(－2,1) D．(－1,2)
(2)(2019·六安阶段性考试)已知常数 a∈R，解关于 x 的不等式 12x2－ax>a2.
[解析] (1)选 C ∵f(x)＝Error!
∴函数 f(x)是奇函数，且在 R 上单调递增，
∴f(2－a2)>f(a)等价于 2－a2>a，即 a2＋a－2<0，
解得－2a2，
∴12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a
4，x2＝a
3.
①当 a>0 时，－a
40，解集为{x|x∈R，且 x≠0}；
③当 a<0 时，－a
4>a
3，解集为Error!.
综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为Error!；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}；
当 a<0 时，不等式的解集为Error!.
[方法技巧]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一
次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，
从而确定解集形式．
考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围
考向一 在实数集 R 上恒成立
[例 2] (2019·大庆期中)对于任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0 恒成立，则
实数 a 的取值范围是________．
[解析] 当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立；
当 a－2≠0 时，则有Error!解得－2