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- 2021-04-13 发布
第一篇 小考点抢先练
，
基础题不失分
第
2
练 复数与平面向量
明晰
考
情
1.
命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积
.
2
.
题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度
.
核心考点突破练
栏目索引
易错易混专项练
高考押题冲刺练
考点一 复数的概念与四则运算
要点重组
(1)
复数：形如
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R
)
的数叫做复数，其中
a
，
b
分别是它的实部和虚部，
i
为虚数单位
.
若
b
＝
0
，则
a
＋
b
i
为实数；若
b
≠
0
，则
a
＋
b
i
为虚数；若
a
＝
0
且
b
≠
0
，则
a
＋
b
i
为纯虚数
.
(2)
复数相等：
a
＋
b
i
＝
c
＋
d
i
⇔
a
＝
c
且
b
＝
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈
R
).
(3)
共轭复数：
a
＋
b
i
与
c
＋
d
i
共轭
⇔
a
＝
c
，
b
＝－
d
(
a
，
b
，
c
，
d
∈
R
).
核心考点突破练
(5)
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数
.
√
∴
|
z
|
＝
1.
故选
C.
答案
解析
2.
已知
a
，
b
∈
R
，
i
是虚数单位
.
若
a
－
i
与
2
＋
b
i
互为共轭复数，则
(
a
＋
b
i)
2
等于
A.5
－
4i
B.5
＋
4i
C.3
－
4i
D.3
＋
4i
解析
由已知得
a
＝
2
，
b
＝
1
，即
a
＋
b
i
＝
2
＋
i
，
∴
(
a
＋
b
i)
2
＝
(2
＋
i)
2
＝
3
＋
4i.
故选
D.
答案
解析
√
3.
已知
i
是虚数单位，
a
，
b
∈
R
，则
“
a
＝
b
＝
1
”
是
“
(
a
＋
b
i)
2
＝
2i
”
的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
√
解析
当
a
＝
b
＝
1
时，
(
a
＋
b
i)
2
＝
(1
＋
i)
2
＝
2i
，
反过来
(
a
＋
b
i)
2
＝
a
2
－
b
2
＋
2
ab
i
＝
2i
，
则
a
2
－
b
2
＝
0
，
2
ab
＝
2
，
解得
a
＝
1
，
b
＝
1
或
a
＝－
1
，
b
＝－
1.
故
“
a
＝
b
＝
1
”
是
“
(
a
＋
b
i)
2
＝
2i
”
的充分不必要条件
，故
选
A.
答案
解析
4.
复数
(
m
2
－
3
m
－
4)
＋
(
m
2
－
5
m
－
6)i
是虚数，则实数
m
的取值范围
是
__________________.
解析
根据题意知，
m
2
－
5
m
－
6
≠
0
，
即
(
m
－
6)(
m
＋
1)
≠
0
，
所以
m
≠
6
且
m
≠
－
1.
答案
解析
{
m
|
m
≠
6
且
m
≠
－
1}
考点二 复数的几何意义
5.
设
a
∈
R
，若
(1
＋
3i)(1
＋
a
i)
∈
R
(i
是虚数单位
)
，则
a
等于
√
解析
(1
＋
3i)(1
＋
a
i)
＝
1
＋
a
i
＋
3i
－
3
a
，
∵
(1
＋
3i)(1
＋
a
i)
∈
R
，
∴
虚部为
0
，则
a
＋
3
＝
0
，
∴
a
＝－
3.
答案
解析
6.
已知
z
＝
(
m
＋
3)
＋
(
m
－
1)i
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m
的取值范围是
A.(
－
3
，
1) B.(
－
1
，
3)
C.(1
，＋
∞
) D.(
－
∞
，－
3)
√
解析
由复数
z
＝
(
m
＋
3)
＋
(
m
－
1)i
在复平面内对应的点在第四象限，
答案
解析
解析
由题意知，
z
1
＝－
2
－
i
，
z
2
＝
i
，
∴
z
1
＋
z
2
＝－
2
，
∴
|
z
1
＋
z
2
|
＝
2.
答案
解析
2
解析
因为
i
4
n
＋
k
＝
i
k
(
n
∈
Z
)
，且
i
＋
i
2
＋
i
3
＋
i
4
＝
0
，
所以
i
＋
i
2
＋
i
3
＋
…
＋
i
2 019
＝
i
＋
i
2
＋
i
3
＝
i
－
1
－
i
＝－
1
，
答案
解析
二
考点三 平面向量的线性运算
方法技巧
(1)
向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减
.
(3)
证明三点共线问题，可转化为向量共线解决
.
解析
作出示意图如图所示
.
√
答案
解析
√
又
B
，
N
，
P
三点共线，
答案
解析
√
答案
解析
解析
方法一 如图以
AB
，
AD
为坐标轴建立平面直角坐标系，
∵
M
，
N
分别为
BC
，
CD
的中点，
12.
已知
a
，
b
为单位向量，且
a
⊥
(
a
＋
2
b
)
，则
|
a
－
2
b
|
＝
____.
解析
由
a
⊥
(
a
＋
2
b
)
得
a
·(
a
＋
2
b
)
＝
0
，
∴
|
a
|
2
＋
2
a
·
b
＝
0
，得
2
a
·
b
＝－
1
，
∴
|
a
－
2
b
|
2
＝
(
a
－
2
b
)
2
＝
a
2
－
4
a
·
b
＋
4
b
2
＝
|
a
|
2
－
4
a
·
b
＋
4|
b
|
2
＝
1
＋
2
＋
4
＝
7
，
∴
|
a
－
2
b
|
＝
.
答案
解析
考点四 平面向量的数量积
方法技巧
(1)
向量数量积的求法：定义法，几何法
(
利用数量积的几何意义
)
，坐标法
.
(2)
向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法
.
13.
已知向量
a
＝
(1
，
2)
，
b
＝
(1
，
0)
，
c
＝
(3
，
4)
，若
λ
为实数，
(
b
＋
λ
a
)
⊥
c
，则
λ
的值为
解析
b
＋
λ
a
＝
(1
，
0)
＋
λ
(1
，
2)
＝
(1
＋
λ
，
2
λ
)
，
又
c
＝
(3
，
4)
，且
(
b
＋
λ
a
)
⊥
c
，
所以
(
b
＋
λ
a
)·
c
＝
0
，即
3(1
＋
λ
)
＋
2
λ
×
4
＝
3
＋
3
λ
＋
8
λ
＝
0
，
√
答案
解析
答案
解析
√
解析
方法一
(
解析法
)
建立坐标系如图
①
所示，
设
P
点的坐标为
(
x
，
y
)
，
图
①
方法二
(
几何法
)
图
②
A.30°
B.45°
C.60°
D.120
°
又
∵
0°
≤∠
ABC
≤
180°
，
∴∠
ABC
＝
30°.
√
答案
解析
16.(2016·
浙江
)
已知向量
a
，
b
，
|
a
|
＝
1
，
|
b
|
＝
2.
若对任意单位向量
e
，均有
|
a
·
e
|
＋
|
b
·
e
|
≤
，
则
a
·
b
的最大值是
____.
解析
由已知可
得
≥
|
a
·
e
|
＋
|
b
·
e
|
≥
|
a
·
e
＋
b
·
e
|
＝
|(
a
＋
b
)·
e
|
，
由于上式对任意单位向量
e
都成立
.
∴
≥
|
a
＋
b
|
成立
.
∴
6
≥
(
a
＋
b
)
2
＝
a
2
＋
b
2
＋
2
a
·
b
＝
1
2
＋
2
2
＋
2
a
·
b
.
即
6
≥
5
＋
2
a
·
b
，
∴
a
·
b
≤
.
∴
a
·
b
的最大值
为
.
答案
解析
1.(2017·
全国
Ⅰ
)
设有下面四个命题：
p
1
：若复数
z
满足
∈
R
，则
z
∈
R
；
p
2
：若复数
z
满足
z
2
∈
R
，则
z
∈
R
；
p
3
：若复数
z
1
，
z
2
满足
z
1
z
2
∈
R
，则
z
1
＝
；
p
4
：若复数
z
∈
R
，
则
∈
R
.
其中的真命题为
A.
p
1
，
p
3
B.
p
1
，
p
4
C.
p
2
，
p
3
D.
p
2
，
p
4
易错易混专项练
√
答案
解析
解析
设
z
＝
a
＋
b
i(
a
，
b
∈
R
)
，
z
1
＝
a
1
＋
b
1
i(
a
1
，
b
1
∈
R
)
，
z
2
＝
a
2
＋
b
2
i(
a
2
，
b
2
∈
R
).
则
b
＝
0
，即
z
＝
a
＋
b
i
＝
a
∈
R
，所以
p
1
为真命题；
对于
p
2
，若
z
2
∈
R
，即
(
a
＋
b
i)
2
＝
a
2
＋
2
ab
i
－
b
2
∈
R
，则
ab
＝
0.
当
a
＝
0
，
b
≠
0
时，
z
＝
a
＋
b
i
＝
b
i
∉
R
，所以
p
2
为假命题；
对于
p
3
，若
z
1
z
2
∈
R
，即
(
a
1
＋
b
1
i)(
a
2
＋
b
2
i)
＝
(
a
1
a
2
－
b
1
b
2
)
＋
(
a
1
b
2
＋
a
2
b
1
)i
∈
R
，
则
a
1
b
2
＋
a
2
b
1
＝
0.
因为
a
1
b
2
＋
a
2
b
1
＝
0
⇏
a
1
＝
a
2
，
b
1
＝－
b
2
，所以
p
3
为假命题；
对于
p
4
，若
z
∈
R
，即
a
＋
b
i
∈
R
，
所以
p
4
为真命题
.
故选
B.
2.
在
△
ABC
中，有如下命题，其中正确的是
______.(
填序号
)
②③
答案
解析
3.
已知向量
a
＝
(1
，
2)
，
b
＝
(1
，
1)
，且
a
与
a
＋
λ
b
的夹角为锐角，则实数
λ
的取值范围是
___________________.
解析
a
＋
λ
b
＝
(1
＋
λ
，
2
＋
λ
)
，由
a
·(
a
＋
λ
b
)>0
，可得
λ
> .
又
a
与
a
＋
λ
b
不共线，
∴
λ
≠
0.
故
λ
>
且
λ
≠
0.
答案
解析
解题秘籍
(1)
复数的概念是考查的重点
，
虚数及纯虚数的意义要把握准确
.
(2)
复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化
(
分子分母同乘以分母的共轭复数
)
，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到
.
(3)
注意向量夹角的定义和范围
.
在
△
ABC
中
，
的
夹角为
π
－
B
；向量
a
，
b
的夹角为锐角要和
a
·
b
>0
区别开来
(
不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理
).
1.
设
i
是虚数单位，则复数
i
3
－
等于
A.
－
i
B
.
－
3i
C.i
D.3i
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
高考押题冲刺练
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∴
a
＝
±1.
故选
A.
3.
设
i
是虚数单位，则
复数
在
复平面内所对应的点
位于
A.
第一象限
B
.
第二象限
C.
第三象限
D
.
第四象限
√
由复数的几何意义知，－
1
＋
i
在复平面内的对应点为
(
－
1
，
1)
，该点位于第二象限，故选
B.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为
M
是线段
AD
的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析
因为点
D
在边
BC
上，
5.
“
复数
z
＝
在
复平面内对应的点在第三象限
”
是
“
a
≥
0
”
的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
√
解析
由题意得
z
＝
a
－
3i
，
若
z
在复平面内对应的点在第三象限，则
a
<0
，故选
D.
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
故点
O
是
BC
的中点，且
△
ABC
为直角三角形，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
√
即
a
2
＝
3.
又
∵
a
>0
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析
∵
b
2
－
4
e
·
b
＋
3
＝
0
，
∴
(
b
－
2
e
)
2
＝
1
，
∴
|
b
－
2
e
|
＝
1.
如图所示
，
把
a
，
b
，
e
的起点作为公共点
O
，
以
O
为坐标原点
，
向量
e
所在直线为
x
轴
，
则
b
的终点在以点
M
(2
，
0)
为圆心
，
1
为半径的圆上
，
|
a
－
b
|
就是线段
AB
的长度
.
要求
|
AB
|
的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心
M
到直线
OA
的距离减去圆的半径长，因此
|
a
－
b
|
的最小值
为
－
1.
故选
A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
解析
4
∴
(5
x
＋
2
y
)
＋
(5
x
＋
4
y
)i
＝
5
＋
15i
，
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
故
C
，
M
，
D
三点共线，
也就是
△
ABM
与
△
ABC
对于边
AB
的两高之比为
3
∶
5
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11.
(2018·
德阳诊断
)
已知
i
为虚数单位，实数
x
，
y
满足
(
x
＋
2i)i
＝
y
－
i
，则
|
x
－
y
i|
＝
____.
解析
∵
(
x
＋
2i)i
＝
y
－
i
，
答案
解析
1
2
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13
1
2
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6
7
8
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10
11
12
答案
解析
∴
点
P
(1
，
4)
，
1
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