2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期开学考试数学试题 解析版 14页

绝密★启用前 吉林省长春外国语学校 2018-2019 学年高二下学期开学考试 数学试题 评卷人 得分 一、单选题 1 ． 设 集 合  1,2,4A  ，  2| 4 0 B x x x m    ． 若  1A B  ， 则 B  ( ) A． 1, 3 B． 1,0 C． 1,3 D． 1,5 【答案】C 【解析】∵ 集合  1 2 4A  ，， ， 2{ | 4 0}B x x x m    ，  1A B  ∴ 1x  是方程 2 4 0x x m   的解，即1 4 0m   ∴ 3m  ∴  2 2{ | 4 0} { | 4 3 0} 13B x x x m x x x         ， ，故选 C 2．计算 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用复数运算法则求解。 【详解】 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了复数的运算法则，属于基础题。 3．若 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由指数函数、对数函数的单调性直接判断。 【详解】 因为 在 上递增， 又 ， 所以 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性应用，属于基础题。 4．函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得 ，解不等式可得实数 a 的取值范围． 【详解】 由条件可知 ，即 a(a－3)<0， 解得 00,函数 y=sin( x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小 值是 A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】 函数 的图象向右平移 个单位后 所以有 故选 C 12．设函数 是奇函数 的导函数, ,当 时, , 则使得 成立的 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ，判断其单调性及奇偶性，结合 即可判断 的正负，从 而判断 的正负，问题得解。 【详解】 令 ，则当 时， ， 所以 在 上递减， 又 为奇函数，所以 为偶函数，则： 在 上递增， ， ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 综上：使得 成立的 的取值范围是： . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了抽象函数不等式的解法，考查了函数单调性及奇偶性应用，考查分析能 力，属于中档题。 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，则 _________. 【答案】0 【解析】 【分析】 由 可得 是周期为 4 的函数，把 转化成 求解即可。 【详解】 对任意实数 ，恒有 ， 则 ， 所以 是周期为 4 的函数，所以 ， 又 是定义在 R 上的奇函数，所以 ， 所以 【点睛】 本题主要考查了函数的周期性应用及奇函数的性质，考查转化能力，属于基础题。 14．若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_______． 【答案】 【解析】 试题分析： . 【考点】抛物线的定义． 【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线 上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 轴 的距离． 15．将二进制数 化为十进制数，结果为______． 【答案】45 【解析】 试题分析： ． 考点：进制转换． 【易错点睛】本题主要考查了二进制转化成十进制．进制转换是算法初步章节的内容， 虽然在高考中末出现过这个知识点，但在年级考试中时有出现．进位制转换是基于二进 制，七进制，八进制等进制在生活和学习中应用而出现的．它体现了运算法则和方式的 理解，它要求我们能由其它进制转换成十进制，也能由十进制转换成其它进制． 16．函数 在 上的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ，将问题转化成函数 的值域来解决。 【详解】 令 ，则 ， 函数 可化为： 由二次函数的性质可得：当 时， ， 当 时， . 所以函数 在 上的值域为 . 【点睛】 本题主要考查了换元法及二次函数的性质，考查计算能力，属于基础题。 评卷人 得分 三、解答题 17．已知 ，且 ，求下列各式的值： (1) ； (2) . 【答案】（1）3；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由三角恒等式即可求得 ，问题得解。 （2）将原式化简为 ，将 代入即可求解。 【详解】 （1） 且 . （2） = = = 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变形及诱导公式、三角恒等式知识，考查转化能力及计算能力， 属于基础题。 18．已知 是定义在 上的偶函数，当 时, . (1)求 的解析式； (2)若方程 有 4 个解，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)由 是定义在 上的偶函数， 时，利用 即可求解。 (2)作出函数 的图象，由图象即可求解。 【详解】 (1)由已知有：f(－x)=f(x),x∈R，且 x≥0 时，f(x)=x2－x， 设 x＜0，则－x＞0， f(x)=f(－x)=(－x)2－(－x)=x2+x. (2)作出函数 f(x)的大致图象： 当方程 f(x)=k 有 4 个解时，由图可知： . 【点睛】 本题主要考查了求函数的解析式及方程的解与函数图象间的关系，考查转化能力，属于 基础题。 19．已知 在同一平面内，且 . （1）若 ，且 ，求； （2）若 ，且 ，求 与 的夹角. 【答案】(1) c=(2,4)或（-2，-4）;(2) . 【解析】 试题分析：（1）由 ， 易设 ，又 可得，求出.（2）由 可知 ，展开将 代入可得 与 的夹角. 试题解析：（1）∵ ，∴ ，则 ， 又∵ ，∴ ，∴ 或 . （6 分） （2）∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ . ， ∴ . （12 分） 考点：本题主要考查向量的数量积.两向量垂直，平行的坐标运算. 20．已知椭圆 (a＞b＞0)的一个顶点为 A(0，1)，离心率为 ，过点 B(0，－2) 及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C，D 两点，右焦点为 F2. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长|CD|. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的一个顶点为 A(0，1)即可求得 ，结合离心率为 列方程组即可求解。 (2)设 ， ，求出直线 的方程 ，联立直线与椭圆方程，求得 ， ，利用弦长公式即可求解。 【详解】 (1)因为椭圆 (a＞b＞0)的一个顶点为 A(0，1)， 所以 ，又 ，解得： ， 所以椭圆的方程为 . (2)设 ， ， 椭圆的左焦点 ，所以直线 的方程为： ，即： 联立直线与椭圆方程得： ，整理得： ， 所以 ， ， 所以 . 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质及韦达定理、弦长公式，考查计算能力，属于基础题。 21．已知函数 ， . (1)求函数 的最小正周期和单调增区间； (2)若 ，求函数 的最大值和最小值以及取最值时对应的 的值. 【答案】（1）最小正周期为 ，递增区间为 ；（2）当 ， 最 大值为 ；当 ， 最小值为 1. 【解析】 【分析】 (1)由周期公式及正弦函数的单调区间直接求解。 (2)直接利用正弦函数的性质求解。 【详解】 （1） ， 令 ， 解得： ， 所以函数 的增区间为： （2）由 得 ， 当 ，即 时， 最大值为 当 ，即 时， 最小值为 1. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的周期公式及三角函数的性质，还考查了三角函数性质的应 用，考查计算能力，属于基础题。 22．已知函数 在 与 时都取得极值. (1)求 的值及函数 的单调区间； (2)若对 ，不等式 恒成立，求的取值范围 【答案】(1)增区间 ，减区间 ；(2) 或 . 【解析】 【分析】 (1)求出 ，利用函数 在 与 时都取得极值列方程组求 得 ，令 即可求得函数的增区间，问题得解。 (2)将不等式 恒成立转化成 ，利用(1)中的结论，求出 ，解不等式即可。 【详解】 (1)因为 ，所以 ， 又已知函数 在 与 时都取得极值， 所以 ，解得： ， 所以 ，令 ，解得： 或 ， 所以函数 的单调增区间为： ，减区间为 . (2)对 ，不等式 恒成立可转化成 ， 由(1)得： 在 上递增，在 递减，在 上递增， ， ， ， 所以 ，所以 ，解得： 或 . 【点睛】 本题主要考查了导数与极值的关系，考查了方程思想及转化思想，还考查了单数与函数 单调性的关系，考查计算能力，属于基础题。