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- 2021-04-13 发布
专题1.9 选讲部分
一．考场传真
1. 【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
2．【2017课标1，文23】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含 –1，1]，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，不等式等价于.① 当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.
（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又
在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.
3．【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值.
4．【2017课标II，文23】已知.证明：
（1）；
（2）.
【解析】(1)
(2)因为，所以，因此.
5．【2017课标II，文23】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2
的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.
6．【2017课标3，文23】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.
【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得，当时，由解得.所以的解集为.
（2）由得，而 ，且当时，.故m的取值范围为.
二．高考研究
【考纲解读】
1.考纲要求
选修4-4 坐标系与参数方程
1．考纲要求：①理解坐标系的作用，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；②了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆、椭圆的参数方程；③掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．
2．命题规律：高考试题对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化能力，分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用．该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下.
选修4-5 不等式选讲
1．考纲要求：①理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：、；②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：、、；③了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
2．命题规律：高考试题对不等式选讲的考查，主要考查绝对值不等式，柯西不等式，基本不等式等知识，主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的最值，绝对值不等式的恒成立问题，利用柯西不等式，基本不等式求最值，题目难度一般为中、低档，着重考查利用数形结合的能力以及化归与转化思想.高考对这部分要求不是太高，会解绝对值不等式，会利用柯西不等式求最值，而解绝对值不等式是高考的热点，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，高考中有选择题和填空的形式，新课标等以选做题的形式考查.
3．学法导航
1.在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
2. 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．
3．解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．
4．使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
5．用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
一．基础知识整合
基础知识：
1．极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为和（），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
点
直角坐标
极坐标
互化公式
2．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为的圆
圆心为，半径为的圆
圆心为，半径为的圆
过极点，倾斜角为的直线
(1)()
或()
(2) ()和
()
过点，与极轴垂直的直线
过点，与极轴平行的直线
若圆心为，半径为的圆方程为.
注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限(即角的终边的位置)．
（2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标 ，，表示同一点的坐标．
3．常见曲线的参数方程的一般形式
(1)经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)．
设是直线上的任一点，则表示有向线段的数量．
(2)圆的参数方程 (为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆的参数方程为 (为参数)．
双曲线的参数方程为 (为参数)．
抛物线的参数方程为 (为参数)．
4.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么，就是曲线的参数方程．
5．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果是实数，则,对于，当且仅当时，等号成立．
(2)定理2：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立．
6．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式与的解集：
不等式
(2)()和 ()型不等式的解法：
①；
②或;
(3)( )和 ()型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
7.易错点形如的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及的符号判断，若则不等式解集为.
8．不等式证明的方法
(1)比较法：①求差比较法：知道，，因此要证明只要证明即可，这种方法称为求差比较法．
②求商比较法：由且，因此当时，要证明，只要证明即可，这种方法称为求商比较法．
(2)综合法：
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
(3)分析法：
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．
(4)反证法和放缩法：
①
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法．
9．几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设均为实数，则 (当且仅当时，等号成立)．
②柯西不等式的向量形式：设为平面上的两个向量，则.
③二维形式的三角不等式：设，那么.
④柯西不等式的一般形式：设为实数，则，当且仅当时，等号成立．
(2)平均值不等式：
定理：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．
我们称为正数的算术平均值，为正数的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．
一般形式的算术—几何平均值不等式：如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立．
易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件．
二．高频考点突破
考点1 极坐标
【例1】已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长．
分析： 由将极坐标方程及化为直角坐标方程
，，联立方程组解得交点坐标，，根据两点间距离公式求线段的长．
【规律方法】1. 确定极坐标方程的四要素
极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．
(3)直角坐标化为极坐标的步骤
①运用
②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．
(4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．
3.求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
【举一反三】在平面直角坐标系中，曲线的方程为,以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出的极坐标方程，并求与的交点的极坐标；
（2）设是椭圆上的动点，求的面积的最大值．
考点2 参数方程
【例2】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．
（1）试判断曲线的形状为何种圆锥曲线；
（2）已知直线过点且与曲线交于，两点，若直线的倾斜角为，求的值．
分析：（1）利用平方法消去参数可得，则曲线为椭圆；（2）可设直线的方程为
（其中为参数），代入，得，根据韦达定理及直线参数方程的几何意义可得 的值.
【规律方法】1.在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
2.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中的几何意义，有如下常用结论：
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；
(2)定点是弦的中点⇒；
(3)设弦中点为，则点对应的参数值(由此可求及中点坐标)．
3.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．
4.化参数方程为普通方程的方法: 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法．参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这一点最易忽视．
5．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)．若为直线
上两点，其对应的参数分别为，线段的中点为，点所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
【举一反三】【2018山东、湖北部分高中调研】已知曲线 的参数方程分别为 ， .
求曲线的普通方程；
（2）已知点的直角坐标为（1,0），若曲线与曲线交于两点，求的取值范围.
考点3 绝对值不等式的解法
【例3】【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
分析：（1）按零点分段法去绝对值，分别在每一段内解一次不等式求出x的范围，然后求并集就得到不等式的解集；（2）分区间去掉绝对值，把f(x)化为分段函数，分别求出每一段函数的值域，综合可求得函数的最小值；有解等价于，由此解出a的范围即可.
【规律方法】1.解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.
2. 含绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法：对，，或.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．这适应于两边都是正数的绝对值不等式.
(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点; ②划区间,去掉绝对值符号; ③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
3.证明绝对值不等式主要有三种方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；
(2)利用三角不等式进行证明；
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
4对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．
【举一反三】【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数的一个零点为2.
（1）求不等式的解集；
（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.
考点4 不等式的证明
【例4】【2018湖南株洲两校联考】设函数
（I）解不等式 ；
（Ⅱ）当 时，证明：
分析： 运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可.由分段函数可得的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证.
【解析】（Ⅰ）由已知可得： ，由时， 成立； 时， ，即有，则为．所以的解集为
（II）证明：由（Ⅰ）知， ，由于，则
，则有
【规律方法】1. 绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法 证明．
2. 利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．利用柯西不等式求最值的一般结构为：，在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
3.放缩法证明不等式的技巧
(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，既不能放的过小，也不能放过了头．常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．
(2)常见的放缩技巧有：
① ()；
②>>(k≥2，且k∈N )．
4.对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．
用作商法证明不等式应注意：
. .因此，用作商法必须先判定符号．
5.应用不等时注意以下几点：
（1）使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧．
（2）基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如()，()等．
（3）含绝对值三角不等式：中等号成立的条件应注意中，而中等．
（4）分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件．
（5）换元法证明不等式时要注意换元后新元的取值范围忽视它会导致错误结论或无法进行下去．
（6）用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设．
（7）应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．
（8）柯西不等式及排序不等式中(i＝1,2，…，n)均为实数，而平均值不等式中为正数．
【举一反三】设函数
（1）解关于的不等式；
（2）若实数满足，求的最小值．
1. 已知．
（1）求函数的定义域；
（2）若的最小值为m，，证明：．
押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．
2. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．
【解析】（1）由题意，知不等式解集为．由，得，所以，由，解得．
（2）不等式等价于，由题意知．因为，所以，即对任意都成立，则．而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为4．
押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．
3. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求的极坐标方程与的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点的极坐标为，与相交于两点,求的面积.
押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题．
4. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)已知直线的参数方程为（为参数），直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.
【解析】(1)由曲线的极坐标方程为,得，所以曲线的直角坐标方程为.
(2)将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，得
押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．