高考数学专题复习：课时达标检测(六十一) 直接证明与间接证明、数学归纳法 6页

课时达标检测(六十一) 直接证明与间接证明、数学归纳法 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为(　　)‎ A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全都为正数 C．a，b，c，d全都为非负数 D．a，b，c，d中至多有一个负数 解析：选C　用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．‎ ‎2．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解析：选C　∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．‎ ‎∴n的第一个取值应是3.‎ ‎3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解析：选D　由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.‎ ‎4．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ 解析：选D　∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴＋＋＝＋＋‎ ≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.‎ ‎5．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a ‎ C．c>a>b D．a>c>b 解析：选A　∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋>＋>＋>0，∴a>b>c.‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：选A　因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.‎ ‎2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：选A　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)a B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b 解析：选A　∵c－b＝4－‎4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋‎2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.‎ ‎4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1‎ 解析：选C　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．‎ ‎5．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是(　　)‎ A．m≤n B．m≥n ‎ C．m>n D．mb，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符，‎ 若f(b)0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>‎0”‎，给出如下一种解法：‎ 解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．‎ 参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为________．‎ 解析：不等式＋<0，可化为＋<0，‎ 故得－1<<－或<<1，‎ 解得－30，则实数p的取值范围是________．‎ 解析：依题意有f(－1)>0或f(1)>0，‎ 所以－2p2＋p＋1>0或－2p2－3p＋9>0，‎ 即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，‎ 得－0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.‎ ‎(1)证明：是f(x)＝0的一个根；‎ ‎(2)试比较与c的大小；‎ ‎(3)证明：－20，‎ 由00，‎ 知f>0与f＝0矛盾，‎ ‎∴≥c，‎ 又∵≠c，∴>c.‎ ‎(3)证明：由f(c)＝0，得ac2＋bc＋c＝0，‎ 即ac＋b＋1＝0，‎ ‎∴b＝－1－ac.‎ 又a>0，c>0，∴b<－1.‎ 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝－＝<＝x2＝，‎ 即－<.‎ 又a>0，∴b>－2，∴－2