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- 2021-04-13 发布
高二数学月考试题（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出正确选项.
【详解】依题意，原式，故选D.
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
2.已知数列…，则是这个数列的（ ）
A. 第六项 B. 第七项 C. 第八项 D. 第九项
【答案】B
【解析】
【详解】由数列前几项归纳可知通项公式,
时,,为数列第七项，故选B.
考点：数列通项公式
3.在△ABC中，，那么B为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.
【详解】依题意，所以，故选B.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
4.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知a=8,B=60°，C=75°，则b=（ ）
A. 4 B. 4 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
分析】
在三角形中，利用正弦定理 ，即可求解．
【详解】在△ABC中，，∴则 ，
∴由正弦定理可得： 故选C
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
5.已知数列的前n项和…，那么数列（ ）
A. 是等比数列但不是等差数列 B. 是等差数列但不是等比数列
C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】
利用求得数列的通项公式，由此判断出正确选项.
【详解】当时，，当时，，
也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公比为的等比数列，不是等差数列.故选A.
【点睛】本小题主要考查数列已知求，考查等比数列、等差数列的概念，属于基础题.
6.已知是等差数列的前项和，且，则等于（ ）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 15
【答案】A
【解析】
【详解】若,则
,
,故选A
7.在△中，内角的对边分别为，若，，，则这样的三角形有（ ）
A. 0个 B. 一个 C. 至多一个 D. 两个
【答案】D
【解析】
【分析】
比较与的大小关系，由此判断出解的个数.
【详解】由于，故三角形有两个，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角形解的个数判断，判断方法如下：若则有一个解，若>则有两个解，若则无解.属于基础题.
8.已知的最小正周期是，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用降次公式和辅助角公式化简解析式，根据最小正周期求得的值，利用求得的值.
【详解】依题意，其中，由周期，所以.由得,，则.故选C.
【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期，考查诱导公式的运用，属于中档题.
9.设是等差数列的前n项和，已知，，若，则（ ）
A. 11 B. 12 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列前项和公式列不等式组，结合等差数列的性质求得的值.
【详解】依题意，所以，故，所以，故选D.
【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
10.设，，，则数列( )
A. 是等差数列，但不是等比数列 B. 是等比数列，但不是等差数列
C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既非等差数列又非等比数列
【答案】B
【解析】
【分析】
将对数式化为指数式，求得的值，由此判断出成等比数列，不成等差数列.
【详解】依题意，由于，所以是等比数列，但不是等差数列.
【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查等差中项和等比中项的性质，属于基础题.
11.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列前项和公式化简已知条件，利用等差数列通项公式化简所求表达式，根据两者关系求出正确选项.
【详解】依题意，故.故选D.
【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12.在中，角所对应的边分别为，.若,则( )
A. 3或 B. 3或 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理、两角差的正弦公式、二倍角公式、三角形内角和定理化简，结合正弦定理，求得的值.
【详解】由得,.
当时，，由于，所以，所以.
当时，，所以.
综上所述，本小题选A.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，还考查了两角差的正弦公式、二倍角公式、三角形内角和定理，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：把正确答案填在答题卡中的横线上
13.在△ABC中，边a，b所对的角分别为A，B．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知条件，求得值，利用诱导公式求得的值.
【详解】由正弦定理得，由于三角形中不为零，所以，所以.
故填：.
【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查诱导公式化简求值，属于基础题.
14.已知数列的前n项和,则______
【答案】
【解析】
【分析】
利用求得数列的通项公式.
【详解】依题意，当时，，不符合上式，所以.
故填：.
【点睛】本小题主要考查已知求，主要利用，解的过程中要验证的情况.属于基础题.
15.一船以每小时的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
【答案】
【解析】
【详解】
依题意,作图如图，
,
在中,，
设,
根据正弦定理得:,
即,
，
答:这时船与灯塔的距离为,
故答案
16.已知数列的通项公式，若是数列中的项，则所有m的取值集合为______.
【答案】{45}
【解析】
【分析】
化简，根据数列是公差为的等差数列，求得的所有取值.
【详解】由可知，数列是首项为，公差为的等差数列.故，故的所有可能取值为，由于是正整数，所以的所有可能取值为或，当，，当，.此时为或，为数列的第项或第项.
故填：.
【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查与整数有关的问题，属于基础题.
三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知数列的通项公式为
（1）证明：数列是等差数列
（2）求此数列的前二十项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）-120
【解析】
试题分析：（1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了，熟记等差数列的公式和性质.
试题解析：（1）证明：，是常数，是以为首项，为公差的等差数列
（2）由等差数列的前项和公式，得.
考点：1、等差数列的证明；2、等差数列前项和公式.
18.设△ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且．
（1）当时，求角的大小；
（2）若△ABC面积是，求边的长．
【答案】（1）．（2）a,c的长均为
【解析】
【分析】
（1）由求得，在利用正弦定理求得，判断出为锐角后求得的大小.（2）根据三角形的面积公式和余弦定理列方程，解方程求得的值.
【详解】解：（1）因为，所以．
因为，，由正弦定理可得．
因为，所以是锐角，
所以．
（2）因为△ABC的面积
所以 ①
又，所以 ②
由①②得
所以a,c的长均为
【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查诱导公式和三角形的面积公式，属于基础题.
19.为正项数列的前项和．已知,
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和．
【详解】解：(1)由，①
可知②
②－①，得
由，得
又，解得 (舍去)或.
所以是首项为2，公差为1的等差数列，通项公式为.
(2)由可知
＝
设数列前项和为，
则＝
＝.
【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法求数列的前项和，属于基础题.
20.在锐角△ABC中，分别为A、B、C所对的边，且
（1）确定角C的大小；
（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．
【答案】（1）C=60°；（2）（+3，]．
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，根据三角形是锐角三角形求得的大小.（2）利用正弦定理将转化为角度来表示，求得三角形周长的表达式，利用三角函数求取值范围的方法，求得三角形周长的取值范围.
【详解】解:（1）已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，
由a＝2csinA，
得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，
∴C=60°或C=120°,
∵△ABC为锐角三角形，∴C=120°舍去。∴C=60°
（2）∵c=，sinC=
∴由正弦定理得：,
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，
即B=-A
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2 [sinA+sin（-A）]+
=2（sinA+sincosA-cossinA）+
=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，
∵△ABC是锐角三角形，
∴＜A＜，
∴＜sin（A+）≤1，
则△ABC周长的取值范围是（+3，]．
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数取值范围的求法，属于中档题.
21.已知数列满足，，数列满足.
（1）证明数列是等差数列并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析，;.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，然后检验是否为常数即可证明，进而可求其通项；（2）由题意可先求an，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可求解.
【详解】（1）由，得，
∴
所以数列是等差数列，首项，公差为
∴;
（2）
----①
------②
①-②得
.
考点：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和
22.已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简.由求得，由此求得数列是等差数列，求得首项和公差，进而求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.
【详解】解：（1） ，
由及得，数列是首项，公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）得 ，
则
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查正切函数的性质，考查等差数列的识别，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.