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- 2021-04-13 发布
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角．
(2)范围：0°≤∠AOB≤180°.
(3)向量垂直：∠AOB＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．
2．平面向量的数量积
(1)射影的定义
设θ是a与b的夹角，则|b|cosθ叫作b在a方向上的射影(或投影)．
(2)平面向量数量积的定义
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b.
(3)数量积的几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|·cosθ的乘积．
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cosθ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cosθ＝
cosθ＝
a⊥b
的充要
条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的
关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤·
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )
(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.( )
(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.( )
(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A [因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]
4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]
5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.
－ [∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]
平面向量数量积的运算
(1)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B．
C． D．
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.
【导学号：66482208】
(1)B (2)1 1 [(1)如图所示，＝＋.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.故选B.
(2) 法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的射影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的射影最大，即为DC＝1，
所以(·)max＝||·1＝1.]
[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．
[变式训练1] (1)已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的射影为 ( )
A．－ B．－3
C. D．3
(2)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(1)C (2)A [(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
(2)由等边三角形的性质得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故选A.]
平面向量数量积的性质
☞角度1 平面向量的模
(1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝( )
A. B．2
C．2 D．4
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
【导学号：66482209】
(1)B (2) [(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B.
(2)∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，
∵λa＋b＝0.
∴即
由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.]
☞角度2 平面向量的夹角
(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B．
C． D．
(2)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为 ( )
【导学号：66482210】
A. B．
C． D．1
(1)B (2)A [(1)由|a＋b|＝|a－b|两边平方得，a·b＝0，由|a－b|＝2|a|两边平方得，3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，设向量a＋b与a的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝，故θ＝.
(2)由题意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤.即|a|2＋|b|2≥4，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，
所以|a－b|≥.]
☞角度3 平面向量的垂直
(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
－5 [∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]
[规律方法] 1.求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
(2)|a±b|＝＝.
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
平面向量在平面几何中的应用
已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y). 2分
∵D是BC的中点，∴D. 4分
又∵＝2，即(x－a，y)
＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a. 8分
∵＝－(a,0)＝，
＝＝，
∴·＝－a×＋×a
＝－a2＋a2＝0. 10分
∴⊥，即AD⊥CE. 12分
[规律方法] 平面几何问题中的向量方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
[变式训练2] 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________.
【导学号：66482211】
[设AB的长为a(a>0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，
故－a2＋a＋1＝1，解得a＝，
所以AB＝.]
[思想与方法]
1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2
，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
4．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.
[易错与防范]
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．
3．在求向量夹角时，注意其取值范围[0，π]．