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- 2021-04-13 发布
高一年级下学期期中考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分，满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，其中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据交集和补集的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
2.（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：,选A.
考点：向量运算
3.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用递推关系式，将代入，依次求出，，即可求解.
【详解】由，，
则，，.
故选：C
【点睛】本题考查了递推关系式求数列的项，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
4.在中，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理得到即可得到答案.
【详解】由正弦定理得：，，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查正弦定理的边角互化，熟练掌握公式为解题的关键，属于简单题.
5.在△ABC中，acos＝bcos ，则△ABC的形状是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角或直角三角形
【答案】B
【解析】
原式可化为asin A＝bsin B，由正弦定理知a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选B.
6.在矩形ABCD中，||=4, ||=2, 则向量的长度等于( )
A. 2 B. 4 C. 12 D. 6
【答案】B
【解析】
，选B.
7.在等差数列中，，则数列的前9项和等于（ ）
A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列性质得到，代入求和公式得到答案.
【详解】，故，.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列性质，等差数列求和，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8.在中，，，则角B等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量夹角公式得到，计算得到答案.
【详解】
，
故，故.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9.若向量，满足，与的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
将平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.
【详解】因为，所以，
故选：B.
【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.
10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.
【详解】因为A，C是内角，所以.
因为，，
所以，
，因此有：
，
由正弦定理可知：.
故选：C
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.
11.设是与的等差中项，是与等差中项，则a，b的关系是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意得到①，②，再将①带入②，化简即可得到答案.
【详解】由题知：是与的等差中项，所以，即①.
又因为是与等差中项，所以②.
将①带入②得：，
整理得：，即：或.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列中等差中项，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.
12.在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由于函数互为反函数，所以其图像关于直线y=x对称，由于D选项中a>1,所以直线y=x+a在y轴上的截距也大于1正好相符
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，向量，则_____________.
【答案】
【解析】
由向量，则，
所以.
14.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于（km），灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的相距 ．
【答案】
【解析】
试题分析：AB=BC=a，∠ACB=90°，由勾股定理知
考点：解三角形的实际应用
15.由正数组成的等差数列和的前n项和分别为和，且，则______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列前n项和公式、等差数列的性质可得、，转化条件为，代入即可得解.
【详解】数列和均为正数组成的等差数列，
，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的转化，属于基础题.
16.奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .
【答案】
【解析】
【详解】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以
在定义域上递减，且，所以 解得，故填.
点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知平面向量，，，且，.
（1）求和；
（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件，，列方程求出、的值，可得出向量和的坐标；
（2）求出、的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量与向量夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.
【详解】（1），，，且，，，
解得，因此，，；
（2），，
则，，，
设与的夹角为，，，则.
因此，向量与向量的夹角为.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
18.在中，角的对边分别为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）由，得
∴.
∵，∴
（Ⅱ）由正弦定理,得.
∵,,
∴. ∴.
∴
考点：本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．
点评：应用正弦定理和余弦定理解三角形时，要灵活选择是用正弦定理还是余弦定理，用正弦定理时有时要注意解的个数问题.
19.已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，
（1）求通项公式；
（2）求的最小值；
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合等差数列的性质可得，解得后，利用等差数列的通项公式即可得，即可得解；
（2）由题意结合等差数列前n项和公式可得，即可得解.
【详解】（1）∵数列为等差数列，∴，
∴，解得或，
又数列的公差，
∴，∴，解得，
∴数列的通项；
（2）由（1）知，，
∴，
∴当时，最小，最小值为.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n项和公式的基本量运算，考查了等差数列性质的应用及等差数列前n项和最值的求解，属于中档题.
20.已知函数，的最小正周期为，
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动
个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在的最大值和最小值.
【答案】（1）；单调递减区间为，（2）最大值；最小值0
【解析】
分析】
（1）先利用辅助角法，将函数转化为，再由周期公式求得，得到，然后利用正弦函数的性质求解.
（2）利用平移变换得到，然后由，得到，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）因为，
又因为，
所以，
所以.
令，，
解得：，
所以函数的单调递减区间为，
（2）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动
个单位长度，纵坐标不变，得到函数，
因为，
所以，
所以，
当，即时，函数取到最大值，
当，即时，函数取到最小值0.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换与三角函数的性质以及三角函数的图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21.在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.
试题解析：（1）由，得，
所以.
（2）由可得，.
，由正弦定理知：.
又，
所以.
考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.
22.函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，有.
（1）求的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若，解不等式.
【答案】（1）（2）在上是增函数；证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）令，代入已知关系式可整理出结果；
（2）令，可得，进而可得到本题答案；
（3）利用，可求得，从而将不等式整理为，然后根据单调性和定义域可确定不等式组，解不等式组即可求得本题答案.
【详解】解：（1）令，则，所以；
（2）任取，且，
则，
，
∴，
∴，
即，
所以在上增函数；
（3）因为，所以，
所以.
由，得，
所以
所以原不等式的解集为.
【点睛】本题考查抽象函数单调性的判断与证明、利用函数单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的关键是能够将所求不等式化为函数值的比较，进而利用单调性转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.