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- 2021-04-13 发布
第3讲 平面向量
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.
真 题 感 悟
1.(2016·北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.
答案 D
2.(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A.4 B.－4
C. D.－
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.
答案 B
3.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.
答案 －2
4.(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________.
解析 法一 由已知可得：
≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|
由于上式对任意单位向量e都成立.
∴≥|a＋b|成立.
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.
即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.
法二 由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤可得|cos α|＋2|cos β|≤ ①.令sin α＋2sin β＝m ②，
①2＋②2得4[|cos α cos β|＋sin αsin β]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1.
故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤.
答案
考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
3.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
4.平面向量的三个锦囊
(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).
(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).
(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.
热点一 平面向量的有关运算
[微题型1] 平面向量的线性运算
【例1－1】 (1)设D，E分别是ΔABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.
解析 (1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，
故λ1＋λ2＝.
(2)法一 如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋
，所以·
＝·＝·＋2＋2＝×2×2×
cos 120°＋＋＝1，解得λ＝2.
法二 建立如图所示平面直角坐标系.
由题意知：
A(0，1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0).
由BC＝3BE，DC＝λDF，
可求点E，F的坐标分别为E，
F，
∴·＝·
＝－2＋＝1，解得λ＝2.
答案 (1) (2)2
探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.
[微题型2] 平面向量的坐标运算
【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A.－8 B.－6
C.6 D.8
(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析 (1)由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，
即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.
(2)||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝，
则∠ABC＝30°.
答案 (1)D (2)A
探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.
[微题型3] 平面向量数量积的运算
【例1－3】 (1)(2016·郑州二模)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B.1
C. D.2
(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________.
解析 (1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，
则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.
又a＋b－c＝(1－x，1－y)，
∴|a＋b－c|＝＝.①
法一 如图.c＝(x，y)对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.
法二 |a＋b－c|＝
＝
＝＝，
∵x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值为1.
(2)法一 在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，
∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·
＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.
法二 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.
又＝λ，＝，
则E，F，λ＞0，
所以·＝＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，
λ＞0，当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，
故·的最小值为.
答案 (1)B (2)
探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.
(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.
【训练1】 (1)(2015·福建卷)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
(2)(2016·青岛二中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________.
解析 (1)建立如图所示坐标系，则
B，C(0，t)，＝，
＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·
(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13，故选A.
(2)法一 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB、AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，设F(x，2)，则＝(x，2)，又＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，又∵E(，1)，则＝(，1)，＝(1－，2)，
∴·＝.
法二 ∵·＝||||cos ∠BAF＝，||＝，∴||cos ∠BAF＝1，
即||＝1，∴||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.
答案 (1)A (2)
热点二 平面向量与三角的交汇
【例2】 (2016·江西红色七校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，b2－a2－c2) ，n＝(2sin A－sin C，c2－a2－b2)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设T＝sin2A＋sin2B＋sin2C，求T的取值范围.
解 (1)＝＝＝＝，
因为sin C≠0，
所以sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B，
所以2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B
＝sin(B＋C)＝sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，
因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)T＝sin2A＋sin2B＋sin2C
＝(1－cos 2A)＋＋(1－cos 2C)
＝－(cos 2A＋cos 2C)
＝－
＝－
＝－cos.
因为0＜A＜，所以0＜2A＜，故＜2A＋＜，
因此－1≤cos＜，所以＜T≤.
探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
【训练2】 (2016·甘肃诊断)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.
(1)求B的大小；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.
解 (1)因为p⊥q，
所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0，
即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，
即sin2B＝，
又角B是锐角三角形ABC的内角，
所以sin B＝，所以B＝60°.
(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，
所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又b＝2，
所以a2＋c2＝8，②
联立①②，解得a＝c＝2.
1.平面向量的数量积的运算有两种形式：
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，
如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.
2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直.
3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.
一、选择题
1.设a，b是两个非零向量.( )
A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析 对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立.
答案 C
2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C.－ D.－
解析 ＝(2，1)，＝(5，5)，||＝5，故在方向上的投影为＝＝
.
答案 A
3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈
p2：|a＋b|＞1⇔θ∈
p3：|a－b|＞1⇔θ∈
p4：|a－b|＞1⇔θ∈
其中的真命题是( )
A.p1，p4 B.p1，p3
C.p2，p3 D.p2，p4
解析 |a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，
∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，
∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.
答案 A
4.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 法一 由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方，
整理可得a·b＝0.①
由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方，
可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②
将①代入②，得b2＝3a2，
即|b|＝|a|.
而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，
故cos〈b，a＋b〉＝＝
＝＝.
又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A.
法二 如图，作＝a，＝b，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，
可得||＝||＝2||，
所以平行四边形OACB是矩形，
＝＝a.
从而||＝2||.
由Rt△BOC中，||＝
故cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝.
从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A.
答案 A
5.(2014·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则( )
A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析 由三角形法则知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a＋b|，|a－b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.
答案 D
二、填空题
6.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.
解析 ∵2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；
∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴||＝|b|＝2，故②错误；
∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；
∵＝b，故④正确；
∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，
∴(4a＋b)⊥，故⑤正确.
答案 ①④⑤
7.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.
解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.
由题意知：A(3，0)，B(0，3)，
设M(x，y)，由＝2，得解得
即M点坐标为(2，1)，
所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.
法二 ·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)
＝2＝3.
答案 3
8.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
解析 不妨设b＝xe1＋ye2，则b·e1＝x＋＝1，b·e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，所以|b|＝|e1＋e2|＝.
答案
三、解答题
9.已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.
解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2，
因为x∈，所以cos x≥0，
所以|a＋b|＝2cos x.
(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，
即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
因为x∈，所以0≤cos x≤1.
①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；
③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.
10.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.
解 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
11.△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝
(cos A，sin B)平行.
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
法二 由正弦定理，得＝，
从而sin B＝，又由a＞b，知A＞B，
所以cos B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面积为S＝absin C＝.