【数学】2018届一轮复习人教A版第16讲不等式的证明技巧学案 10页

高中数学热点难点突破技巧第16讲：‎ 不等式的证明技巧 ‎【知识要点】‎ 不等式的证明常用的有六种方法（不等式证明六法：比综分放数反）‎ 一、比较法 包括差比和商比两种方法.‎ 差比的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；商比的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.‎ 如果两个数都是正数，一般用商比，其它一般用差比.‎ 二、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.‎ 三、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.‎ 用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明……，只需证明……”. 不能省略“要证明，只需证明”.‎ 一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.分析法一般用在解答难题中.‎ 四、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.‎ 放缩的常见技巧：‎ ‎①添加或舍去一些项，如：‎ ‎②将分子或分母放大或缩小，如：‎ ‎③利用基本不等式等，如：‎ 五、数学归纳法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.‎ 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.‎ 六、反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.‎ 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 比较法 使用情景 一般是两个实数 解题方法 包括差比和商比两种方法.‎ 差比的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；商比的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.‎ 如果两个数都是正数，一般用商比，其它一般用差比.‎ ‎【例1】已知，则. ‎ ‎【证明】左边-右边，其中，‎ 所以，左边-右边，左边右边 所以.‎ ‎【点评】（1）差比的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论.（2）差比法是一种比较普遍的方法，适用于任意的两个对象.在两个数大小不能确定时，经常用到差比的方法.‎ ‎【例2】设，求证：‎ ‎【证明】作商：‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时， ‎ ‎∴ ‎ ‎【点评】（1）商比的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.（2）商比法一般适用于两个正数，如果.如果不知道两个数是正数，一般不用商比法，一般用差比法.‎ ‎【反馈检测1】已知、、是实数，试比较与的大小．‎ 方法二 综合法 使用情景 一般题设较简单，比较容易化简，题目较简单.‎ 解题方法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法.‎ ‎【例3】 设为正实数，求证：．‎ ‎【证明】因为为正实数，由平均不等式可得 即 , 所以，‎ 而，所以 .‎ ‎【点评】（1）由于已知中有为正实数的信息，所以联想到利用基本不等式解答.该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.（2）对于类似该题的对称不等式，一般转化成证明几个同种类型的不等式. ‎ ‎【反馈检测2】已知是不全相等的正数，求证：‎ 方法三 分析法 使用情景 一般从题设入手比较难.‎ 解题方法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.‎ ‎【例4】求证: ,求证:‎ ‎【点评】（1）本题直接证明比较困难，所以选用分析法证明.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.这个不能省略. （2）一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.‎ ‎【反馈检测3】设为实数，求证：‎ 方法四 放缩法 使用情景 一般不方便用其它方法，用放缩法比较简单.‎ 解题方法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的.‎ ‎【例5】设，‎ 求证： ‎ ‎【证明】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）由于这是一个数列的问题，利用前面几种方法都不是很恰当.‎ ‎ 所以先要寻找新的方法.对数列的通项进行放缩.（2）要证明不等式右边，要对数列的通项放大，，要证明不等式的左边，要对数列的通项缩小，.学 …… ‎ ‎【例6】设数列的前项和为，已知，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数，有.‎ 又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ 所以所以 ‎ ‎（2）证明：当； ‎ 当； ‎ 当， ‎ 此时 综上，对一切正整数n，有 ‎ ‎【点评】本题的放缩是一个难点，放缩一定要适当，有时需要数列的第一项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前两项不放缩其他项放缩，有时需要数列的前三项不放缩其他项放缩，……，才能放缩出要证明的结果.这需要大家平时的训练和积累. 具体见【高中数学热点难点突破技巧14讲：放缩法与数列不等式的证明】 ‎ ‎【反馈检测4】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性与极值点；‎ ‎（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；‎ ‎（3）证明：.‎ 方法五 数学归纳法 使用情景 一般是与正整数有关的命题.‎ 解题方法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.‎ 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法.‎ ‎【例7】证明不等式()‎ ‎【证明】(1)当等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；‎ ‎【点评】用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论.在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法. 第二步是证明的关键.‎ ‎【反馈检测5】数列{}由下列条件决定：‎ ‎（1）证明：对 总有；（2）证明：对 总有.‎ 方法六 反证法 ‎ 使用情景 一般从正面着手比较困难.‎ 解题方法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.‎ ‎【例7】已知，，，求证：，，中至少有一个小于等于.‎ 所以假设不成立，原命题成立.‎ ‎【点评】（1）如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. （2）利用反证法证明时，关键是寻找矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与公理、定理矛盾.学·· ` ‎ ‎【反馈检测6】已知中至少有一个小于2.‎ ‎ : | Z|X|X|K]‎ 高中数学热点难点突破技巧第16讲：‎ 不等式的证明技巧参考答案 ‎【反馈检测1答案】见解析 ‎【反馈检测1详细解析】‎ ‎，当且仅当时，等号成立，∴． ‎ ‎【反馈检测2答案】见解析 ‎【反馈检测3答案】见解析 ‎【反馈检测3详细解析】当时，∵，∴成立．‎ 当时，用分析法证明如下：‎ 要证，只需证，‎ 即证，即证：，‎ ‎∵对一切实数恒成立，∴成立．‎ 综上所述，对任意实数不等式都成立．‎ ‎【反馈检测4答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减.‎ 为极大值点，为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【反馈检测4详细解析】‎ ‎（1），‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以在单调递增，此时无极值点.‎ 当时，，在上的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知在和上单调递增，在上单调递减.‎ 为极大值点，为极小值点. :学 ]‎ ‎ ‎ ‎（3）由（2）知，即，∵，∴，‎ 令，则，∴‎ ‎∴‎ ‎ ∴不等式成立.‎ ‎【反馈检测5答案】见解析 ‎【反馈检测5详细解析】证明：（1）先证 ‎ 时，有 ‎②设时，有 当时，成立 由①②得 ∴ 对 总有 ‎（2） ∴ 对 总有 ‎【反馈检测6答案】见解析 所以中至少有一个小于2.学 ‎