- 1.36 MB
- 2021-04-13 发布
2020届高三下学期4月调研
文科数学
全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知为实数集，集合，，则集合为
A. B. C. D.
2.已知复数是虚数单位，，则＝
A. B. C. 0 D. 2
3.将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是
A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分 B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D. 甲乙两队得分的极差相等
4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为若，，
成等差数列，则数列的公比为
A. B. C. 2 D. 3
5.执行如图所示的程序框图，输出的值为
A. B. C. D.
6.已知直线与圆相交于 两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数
A. 2 B. C. 或2 D. 1
9.椭圆的左、右顶点分别为，点在上，且直线
的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是
A． B． C． D．
10.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为
A. B. C. D.
11.已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
12.已知函数， ， 的部分图像如图所示， 分别为该图像的最高点和最低点，点垂轴于， 的坐标为，若，则
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知 ，则 __________．
14.已知正数满足，则的最小值是____________.
15.已知双曲线（， ）的左右焦点分别为， ，点在双曲线的左支上， 与双曲线右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是__________．
16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，边长为，都在圆上，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥，则该四棱锥体积为__________．
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题满分12分）某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的指数与当天的空气水平可见度（单位： ）的情况如表1：
该省某市2016年11月指数频数分布如表2：
频数
3
6
12
6
3
（1）设，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程；
（附参考公式： ，其中， ）
（2）小李在该市开了一家洗车店，经统计，洗车店平均每天的收入与指数由相关关系，如表3：
日均收入（元）
根据表3估计小李的洗车店该月份平均每天的收入．
18. （本题满分12分）已知数列中， ， .
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19. （本题满分12分）如图所示，三棱柱中，已知侧面， ， ， .
求证： 平面；
是棱上的一点，若三棱锥的体积为，求的长.
20.（本题满分12分）已知函数， （为自然对数的底数）.
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的值.
21. （本题满分12分）已知抛物线C： 的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；
若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于， 两点，弦的中点为，求的值.
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）已知关于的不等式的解集为，求的值 ．
参考答案
1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.A 11.D 12.B
13. 14.. 15. 16.
17.(1) (2)2400元
解析：（1）， ，
，
，
∴， ，
所以关于的线性回归方程为．
（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天亏损约1000元，有12天每天收入约2000元，有6天每天收入约6000元，有3天每天收入约8000元，估计小李的洗车店该月份平均每天的收入约为元．
18.（1）；（2）.
解析：（1）由可得，
又由，∴是公差为2的等差数列，
又，∴，∴.
（2） ，
.
19.解析： 证明：因为平面， 平面，所以，
在中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
所以，
故，所以，
又，∴平面.
面，∴，
∴，
∴为所求.
20.（Ⅰ）当时， 在上为减函数；当时，则在上为减函数；在上为增函数；（Ⅱ） .
解析：(Ⅰ) ，令；
①时，则（当且仅当时取等号）在上为减函数；
②当时，则在上为减函数； 在上为增函数；
(Ⅱ) ，
由于不等式恒成立，说明的最小值为，
当 时， 说明；下面验证：
当时，由(Ⅰ)可知： 在上为减函数； 在上为增函数；
当时， 有最小值，即有.故适合题意.
21.（1）；（2）直线的方程为或．
解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则
．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．
由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得
或．所求直线的方程为或．
22.(Ⅰ)曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为： .(Ⅱ) .
解析： 由题意的方程为： 可得的普通方程为： ，
将代入曲线方程可得： .
因为曲线的极坐标方程为，
所以.
又， ， .
所以.
所以曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为：
.
因为点，化为直角坐标为所以.
因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得： ，
所以由韦达定理： ， ，
所以.
23.（Ⅰ）；（Ⅱ）．
解析：（Ⅰ）当时，
当时，由得，解得，
当时， 无解，
当时，由得，解得，
所以的解集是，
（Ⅱ）记，则
由解得，又已知的解集为，
所以于是．