【数学】2020届一轮复习（文理合用）第10章第7讲离散型随机变量及其分布列(理)（理）作业 6页

对应学生用书[练案76理]‎ 第七讲　离散型随机变量及其分布列(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.故选A．‎ ‎2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝(　D　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　∵a＋＋＝1，∴a＝.‎ ‎∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.‎ ‎3．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　B　)‎ A．　　 B．　　‎ C．4　　 D． ‎[解析]　由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.‎ ‎4．(2019·嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．1　　 D． ‎[解析]　依题意，X的取值为0,1,2，‎ 且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，‎ P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，‎ P(X＝2)＝×＝.‎ 故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．‎ 二、填空题 ‎5．设随机变量X的概率分布为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m 则P(|X－3|＝1)＝_____.‎ ‎[解析]　＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.‎ ‎6．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为___________.‎ ‎[解析]　‎ η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎7．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，则取得次品数为ξ的分布列为____________.‎ ‎[解析]　‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 三、解答题 ‎8．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，‎ ‎2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．‎ ‎(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；‎ ‎(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，‎ 则P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 且P(X＝k)＝，‎ 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎9．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定甲先射击．‎ ‎(1)求甲获胜的概率；‎ ‎(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎[解析]　(1)记甲第i次射击中获胜的概率为Ai(i＝1,2,3)，‎ 则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的概率为A1＋A2＋A3，‎ P(A1)＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝()2×()2×＝.‎ 故P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＋×＝，‎ P(X＝2)＝××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝()2×()2×1＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·山西质检)从1,2,3,4,5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E(ξ)＝(　B　)‎ A．3　　 B．4.5　　‎ C．5　　 D．6‎ ‎[解析]　由题意知，ξ只能取3,4,5，则 P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故E(ξ)＝×3＋×4＋×5＝4.5.‎ ‎2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　D　)‎ A．P(X＝3)　　 B．P(X≥2)‎ C．P(X≤3)　　 D．P(X＝2)‎ ‎[解析]　由超几何分布知P(X＝2)＝，故选D．‎ ‎3．随机变量X的分布列如下：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝_____，公差d的取值范围是__[－，]___.‎ ‎[解析]　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.‎ 又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.‎ 又a＝－d，c＝＋d，‎ 根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，‎ ‎∴－≤d≤.‎ ‎4．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝_____.‎ ‎[解析]　ξ可能的值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ 又P(ξ＝3)＝＝，‎ ‎∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝－－＝.‎ ‎5．(2019·海南模拟)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且 P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎6．(2019·南昌模拟)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，某班级背诵正确的概率p＝，背诵错误的概率q＝，记该班级完成n首古诗词背诵后总得分为Sn.‎ ‎(1)求S6＝20且Si≥0(i＝1,2,3)的概率；‎ ‎(2)记ξ＝|S5|，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)若S6＝20，则背诵6首后，正确4首，错误2首，‎ 若第1首和第2首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；‎ 若第1首背诵正确、第2首背诵错误、第3首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首，‎ ‎∴所求的概率P＝()2×C×()2×()2＋×××C×()2×＝.‎ ‎(2)∵ξ＝|S5|的可能取值为10,30,50，又p＝，q＝，‎ ‎∴P(ξ＝10)＝C()3()2＋C()2()3＝，‎ P(ξ＝30)＝C()4()1＋C()1()4＝＝，‎ P(ξ＝50)＝C()5＋C()5＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ P ‎∴E(ξ)＝10×＋30×＋50×＝.‎