【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 18页

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如图，点是外一点，为的一切线，是切点，割线经过圆心，若，，则 ．‎ ‎ 2、如图，是圆的直径，是圆的切线，交圆于点，过点作圆的切线交于点．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）上是否存在点，使得？请说明理由．‎ ‎3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．‎ ‎（1）求证：DE是圆O的切线；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎4、如图，已知为圆的直径，是圆上的两个点，是劣弧的中点,于,交于，交于.‎ ‎（I）求证：‎ ‎（II）求证：.‎ ‎5、如图，已知为圆的直径，是圆上的两个点，是劣弧的中点,于,交于，交于.‎ ‎（I）求证：‎ ‎（II）求证：.‎ ‎6、如图,是圆的直径,是圆内接四边形,于点,且与圆相切于点.‎ ‎（1）求证：平分；‎ ‎（2）若,求的长.‎ ‎7、如图,是圆的直径,是圆内接四边形,于点,且与圆相切于点.‎ ‎（1）求证：平分；‎ ‎（2）若,求的长.‎ ‎8、如图，AB为圆O的一条弦，C为圆O外一点．CA，CB分别交圆O于D，E两点．‎ 若AB＝AC，EF⊥AC于点F，求证：F为线段DC的中点．‎ ‎9、如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若四点共圆，且，求.‎ ‎10、已知是的外角的平分线，交的延长线于点，延长交的外接圆于点，连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是外接圆的直径，，，求的长.‎ ‎11、如图，圆与圆交于两点，以为切点作两圆的切线分别交圆和圆于两点，延长交圆于点，延长交圆于点，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求.‎ ‎12、如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是圆的直径，，求的长.‎ ‎13、如图，的外接圆为，延长至，再延长至，使得．‎ ‎（1）求证：为的切线；‎ ‎（2）若恰好为的平分线，，求的长度．‎ ‎14、如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，，为中点，的延长线交圆于点，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎15、如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎16、如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长.‎ ‎17、如图所示，为的切线，切点为，割线过圆心，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长.‎ ‎18、如图，已知：是以为直径的半圆上一点，于点，直线与过点的切线相交于点为中点，连接交于点.‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若的半径为,求.‎ ‎19、如图是圆的一条弦，过点作圆的切线，作，与该圆交于点，若，.‎ ‎（1）求圆的半径；‎ ‎（2）若点为中点，求证三点共线.‎ ‎20、如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知.‎ 证明：（1）；‎ ‎（2）．‎ 参考答案 ‎1、答案：‎ 连接，依题意可知，而，故在中，，且为中点，所以.‎ ‎【考点】几何证明选讲．‎ ‎2、答案：（1）证明见解析；（2）存在点使得.‎ 试题分析：（1）先由弦切角定理，进而，，可得，可得结论；（2）由射影定理，作于点,由弦切角定理得，即存在点使得.‎ 试题（1）连接，∵是圆的直径，∴，又、是圆的切线，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵与互余，与互余，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，因而为的中点．‎ ‎（2）在直角三角形中，‎ ‎，作于点,‎ 则在直角三角形中，，‎ 因而，‎ 则存在点使得．‎ ‎【考点】1、弦切角定理的应用；2、射影定理的应用. 3、答案：试题分析：（1）由点是中点，点是中点，是圆的切线；（2）延长交圆于点，由（1）知是圆的切线，而是圆的割线．‎ 试题（1）连结，点是中点，点是中点，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 在和中，，，‎ ‎，即．‎ 是圆上一点，是圆的切线 ‎（2）延长交圆于点，‎ ‎，由（1）知是圆的切线，而是圆的割线，‎ ‎，‎ 由（1）知，，‎ 点是的中点，．‎ ‎【考点】1、三角形的全等；2、切割线定理；3、切线的定义． 4、答案：试题分析：（I）在同一三角形中证明线段相等，一般利用对应两角相等，而等弧对应角相等，即，其余角也相等即，又，所以，即（II）证明线段成比例，一般利用三角形相似，易得∽，所以,即 试题（I）是劣弧的中点 在中，‎ ‎,又,所以.从而，在中，.‎ ‎（II）在中，,因此，∽‎ ‎，由此可得,即 ‎【考点】三角形相似 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 5、答案：试题分析：（I）在同一三角形中证明线段相等，一般利用对应两角相等，而等弧对应角相等，即，其余角也相等即，又，所以，即（II）证明线段成比例，一般利用三角形相似，易得∽，所以,即 试题（I）是劣弧的中点在中，,又,所以.从而，在中，.‎ ‎（II）在中，,‎ 因此，∽，由此可得,即 ‎【考点】三角形相似 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 6、答案：（1）证明见解析；（2）6.‎ 试题分析：（1）要证平分，只要证，由已知这两个角是两个直角三角形中的锐角，因此只要证其余角相等，即，这两个角是同弧所对的圆周角和弦切角，它们显然相等，结论得证；（2）由（1）的证明知，从而有，这样在直角中，可得出，也有，这两个三角形 中的所有边长都可求出，可利用切割线定理求出，从而由勾股定理得．（此题可由得，从而，由三角形全等就可得长）‎ 试题（1）证明：BE与圆O相切于点B，‎ ‎.①‎ ‎②‎ AC是圆O的直径，‎ ‎③‎ 由①②③得，‎ 即CB平分.‎ ‎（2）由（1）知 即 故AC=,.‎ 由切割线定理得,‎ ‎.‎ ‎【考点】弦切角定理，切割线定理，相似三角形的判定与性质． 7、答案：（1）证明见解析；（2）6.‎ 试题分析：（1）要证平分，只要证，由已知这两个角是两个直角三角形中的锐角，因此只要证其余角相等，即，这两个角是同弧所对的圆周角和弦切角，它们显然相等，结论得证；（2）由（1）的证明知，从而有，这样在直角中，可得出，也有，这两个三角形中的所有边长都可求出，可利用切割线定理求出，从而由勾股定理得．（此题可由得，从而，由三角形全等就可得长）‎ 试题（1）证明：BE与圆O相切于点B，‎ ‎.①‎ ‎②‎ AC是圆O的直径，‎ ‎③‎ 由①②③得，‎ 即CB平分.‎ ‎（2）由（1）知 即 故AC=,.‎ 由切割线定理得,‎ ‎.‎ ‎【考点】弦切角定理，切割线定理，相似三角形的判定与性质． 8、答案：试题分析：要证F为线段DC的中点，由于EF⊥AC，因此只要证，也即只要证，而这两个角都可与相等，因此结论得证．‎ 试题证明：因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形ADEB是圆内接四边形，所以∠B＝∠EDC。因为AB＝AC，所以∠B＝∠C．所以∠C＝∠EDC，从而ED＝EC．又因为EF⊥DC于点F，所以F为线段DC中点．‎ 考点：圆内接四边形的性质． 9、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）要证，只要证即可，由弦切角和圆周角关系可得，由角平分线性质得，又同弧上的圆周角相等，所以，即可证得；（2）由四点共圆及（1）得，设，在等腰三角形中，列出方程，解之即可.‎ 试题（1）∵的平分线与圆交于点 ‎∴，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）因为四点共圆，所以，‎ 由（1）知，，‎ 所以.‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 在等腰三角形中，，‎ 则，所以.‎ ‎【考点】1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质. 10、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）欲证，只要证即可，由平分可得，由圆内接四边形性质得，又因为同弧上的圆周角相等、对顶角相等，所以，即可证得；（2），∴，所以在中，∵，可求出，从而求出的值.‎ 试题（1）证明：∵平分，∴，因为四边形内接于圆，∴，‎ 又∵，∴，∴.‎ ‎（2）∵是圆的直径，∴，∵，∴，∴，在中，∵，，∴，又在中，，，∴.‎ ‎【考点】1.三角形外角平分线性质；2.圆的性质. 11、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）根据弦切角定理，知，，所以，则，故，；（2）根据切割线定理，知，，两式相除，得，由，得，，又，故.‎ 试题 ‎（1）根据弦切角定理，知，，‎ ‎∴∽，则，故，.‎ ‎（2）根据切割线定理，知，，‎ 两式相除，得 由∽，‎ 得，，又，‎ 由得.‎ ‎【考点】几何证明选讲. 12、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）弦切角等于所夹的弧所对的圆周角，等弧所对的圆周角相等，故，故；（2）由（1）知是圆的直径，且，，在中，，所以.‎ 试题 ‎∵是圆周角的角平分线，∴.‎ 又∵是圆的切线，∴，∴.‎ 又∵，∴‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ ‎∵是圆的直径，∴，∴，‎ ‎∴～，∴.‎ ‎∵，由（1）知，，∴，∴，‎ ‎∴，则，∴.‎ ‎∴在中，，∴，∴，‎ ‎∴在中，，所以.‎ ‎【考点】几何证明选讲. 13、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）运用相似三角形和圆幂定理推证；（2）借助题设条件和圆幂定理求解.‎ 试题解析:‎ ‎（1）证明：，‎ ‎，即，于是，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据弦切角定理的逆定理可得为的切线．‎ ‎（2）为的切线，‎ ‎，而恰好为的平分线，‎ ‎，于是，‎ ‎，①‎ 又由得，②‎ 联合①②消掉，得．‎ ‎【考点】圆中的有关定理及运用． 14、答案：试题分析：（Ⅰ）连接，则，故，根据弦切角等于同弦所对的圆周角，可退出，所以；（Ⅱ）由切割线定理得：，由相交弦定理得：，代入已知条件，化简得．‎ 试题 ‎（Ⅰ）证明：连接，,由题设知，故 因为：，，由弦切角等于同弦所对的圆周角：，所以：，从而弧弧，因此：‎ ‎（Ⅱ）由切割线定理得：，因为，‎ 所以：，‎ 由相交弦定理得：‎ 所以：‎ ‎【考点】几何证明选讲． 15、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）连结，由题意知为直角三角形，利用证得，从而有；（2）由切割线定理，有，可证得，所以，得，所以．‎ 试题 ‎（1）证明：连结，由题意知为直角三角形，‎ 因为，‎ 所以，即．又，所以．‎ ‎（2）因为是圆的切线，所以，又，‎ 所以，‎ 因为，又，所以．‎ 所以，得，‎ 所以．‎ ‎【考点】几何证明选讲. 16、答案：（I）证明见解析；（II）‎ 试题分析：（I）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；只需证明，即有，即；（II）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.先求得，，有余弦定理可求得.‎ 试题 ‎（Ⅰ）因为为圆的切线，所以.‎ 又因为，所以.‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 又，，‎ 所以，，‎ 由余弦定理，得.‎ ‎【考点】几何证明选讲． 17、答案：（I）证明见解析；（II）‎ 试题分析：（I）如果已知条件中出现切线，那么通常可联系切线的性质、弦切角定理、切割线定理；只需证明，即有，即；（II）如果在圆中出现等腰三角形，通常可得角相等与垂直关系，再联系圆周角定理、弦切角定理以及三角形相似来处理相关的问题.先求得，，有余弦定理可求得.‎ 试题 ‎（Ⅰ）因为为圆的切线，所以.又因为，所以.所以，所以，‎ 所以，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 又，，‎ 所以，，‎ 由余弦定理，得.‎ ‎【考点】几何证明选讲． 18、答案：（1）证明见解析；（2）‎ 试题分析：（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得，即：是的切线；（2）延长直线交直线于点，易得是等腰三角形，利用切割线定理，求得，由勾股定理有，联立方程组解得.‎ 试题 ‎（1）证明:连接.是直径,,又是中点，，‎ 又，从而，即：是的切线.‎ ‎（2）延长直线交直线于点,由得:，又,从而是等腰三角形,.‎ 由切割线定理得：.①‎ 在中,由勾股定理得：②由①、②得:.‎ ‎【考点】几何证明选讲. 19、答案：（1）；（2）证明见解析.‎ 试题分析：（1）设中点为，连结，可知，，再由切割线定理及勾股定理可得圆的半径；（2）可证四边形为平行四边形，又因为为的中点，所以与交于点，所以三点共线.‎ 试题（1）取中点为，连结，由题意知，，‎ 为圆的切线，为割线 ‎，由，‎ 在中，由勾股定理得，.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以四边形为平行四边形，又因为为的中点，‎ 所以与交于点，所以三点共线.‎ ‎【考点】1、切割线定理及勾股定理；2、平行四边形的判定. ‎ ‎20、答案：试题分析：（1）由弦切角定理可得，再结合已知条件即可得出所证的结论；（2）由内接四边形的性质可得，进而得出∽，由相似三角形的性质可得对应线段成比例，进而得出所证的等式.‎ 试题（1）∵与⊙相切于点，∴.又，∴，∴.‎ ‎（2）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽.∴，即，∴.‎ ‎【考点】1.相似三角形;2.圆 ‎