2018-2019学年黑龙江省大庆中学高二10月月考数学试题 解析版 19页

绝密★启用前 黑龙江省大庆中学 2018-2019 学年高二 10 月月考数学试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了 解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 的户主进行调查，则 样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 　　 A． 100，8 B． 80，20 C． 100，20 D． 80，8 【答案】A 【解析】 由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是 ，其中对四居室满意的人数 为 ，应选答案 A。 2．已知如程序框图，则输出的 i 是 　　 A． 9 B． 11 C． 13 D． 15 【答案】C 【解析】 试题分析：经过第一次循环得到 S=1×3=3，i=5 经过第二次循环得到 S=3×5=15，i=7 经过第三次循环得到 S=15×7=105，i=9 经过第四次循环得到 S=105×9=945，i=11 经过第五次循环得到 S=945×11=10395，i=13 此时，满足判断框中的条件输出． 考点：程序框图． 3．“ 且 ”是“ ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可求得最终结果. 【详解】 若 且 ，则 成立，故充分性易证， 若 ，如 ， ，此时 成立，但不能得出 且 ，故必要性不成立， 由上证明知“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件． 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查充分必要条件的判定，不等式的性质等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 4．用秦九韶算法求多项式 ，当 时， 的值为 　　 A． 27 B． 86 C． 262 D． 789 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将所给的算式写成秦九韶的形式，然后计算 的值即可. 【详解】 故 当 时， 本题选择 C 选项. 【点睛】 本题主要考查秦九韶算法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，则互斥而不对立的两个 事件是 　　 A． 至少有一个白球；都是白球 B． 至少有一个白球；至少有一个红球 C． 至少有一个白球；红、黑球各一个 D． 恰有一个白球；一个白球一个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【详解】 袋中装有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个，从中任取 2 个，逐一分析所给的选项： 在 A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故 A 不成 立． 在 B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故 B 不成立； 在 C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故 C 成立； 在 D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故 D 不成立； 本题选择 C 选项. 【点睛】 “互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥 事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 6．已知等差数列 中， 是 的前 n 项和，且 ， ，则 的值为 　　 A． 260 B． 130 C． 170 D． 210 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合等差数列的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由题意可得 ， ， ，成等差数列， 故 ， 代入数据可得 ， 解之可得 本题选择 D 选项. 【点睛】 本题主要考查等差数列前 n 项和的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为 　　 A． 8 B． C． 10 D． 【答案】B 【解析】 由三视图可知，侧面的高为主视图的腰长，故侧面的高为 ，故侧面积为 . 点睛：本题主要考查由三视图求几何体的侧面积. 思考三视图还原空间几何体首先应深 刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正 视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽； 侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法： 1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到 几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8．2016 年 2 月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查， 如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为 ， 则 的最小值为 　　 A． 9 B． C． 8 D． 4 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意，得 ，即 ，且 ， 则 （当且仅当 ，即 取等号）；故选 B． 考点：1.茎叶图；2.基本不等式． 9．长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，则该长方体外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】 设长方体的棱长分别为 ，则 ， 所以 ，于是 ， 设球的半径为 ，则 ，所以这个球面的表面积为 ． 本题选择 C 选项. 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点 和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的 顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 10．甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到 整数元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“最佳手气” 即乙领到的钱数不少于其他任何 人 的概率是 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设乙,丙,丁分别领到 x 元,y 元,z 元,记为 ,则基本事件有: 共 10 个,其中符合乙获得“最佳手气”的 有 4 个,故概率为 ,应选 C. 11．在区间 上随机取两个数 x，y，记 P 为事件“ ”的概率，则 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】 如图所示， 表示的平面区域为 ， 平面区域内满足 的部分为阴影部分的区域 ，其中 ， ， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为 . 本题选择 D 选项. 【点睛】 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确 表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式， 在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可. 12．圆 ： 和 ： ，M，N 分别是圆 ， 上的点，P 是 直线 上的点，则 的最小值是 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求得圆 关于 的对称的圆的性质，然后将问题转化为三点共线的问题求解最值 即可. 【详解】 圆 关于 的对称圆的圆心坐标 ，半径为 3， 圆 的圆心坐标 ，半径为 1， 由图象可知当 P， ， ，三点共线时， 取得最小值， 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径和， 即： ． 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知一组数据 ， ， ， ， ，则该组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 数据 4.8，4.9，5.2，5.5，5.6 的平均数为 ×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为： s2= ×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案 为：0.1． 14．将参加数学竞赛的 1000 名学生编号如下：0001，0002，0003， ，1000，打算从 中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的办法分成 50 个部分 如果第一部分编号为 0001，0002， ，0020，从中随机抽取一个号码为 0015，则第 40 个号码为______． 【答案】0795 【解析】 【分析】 首先求得分段间隔，然后结合所给号码的数值求解第 40 个号码即可. 【详解】 系统抽样是先将总体按样本容量分成 段，再间隔 k 取一个． 又 现在总体的个体数为 1000，样本容量为 50， 若第一个号码为 0015，则第 40 个号码为 故答案为 0795 【点睛】 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大． (2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个 个体，从而确定分段间隔． (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确 定． 15．某学校有 8 个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团 的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为______ ． 【答案】 【解析】 试题分析：这是一古典概率模型，基本事件有 种，具体事件中含有基本事件的 个数为 ，则概率为： ． 考点：古典概率的运算 16．在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 ， ，且满足 ，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解 的值即 可. 【详解】 根据正弦定理得： , 故答案为： 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力. 评卷人 得分 三、解答题 17．国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测 2018 年到 2022 年全市人口总 数与年份的关系有如表所示： 年份 年 0 1 2 3 4 人口数 十万 5 7 8 11 19 请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； 据此，估计 2023 年该市人口总数． （附）参考公式： ， ． 【答案】（1） ；（2）估计 2023 年该市人口总数约为 196 万． 【解析】 分析：（Ⅰ）直接利用最小二乘法原理求 关于 的线性回归方程.( Ⅱ)令回归方程中的 x=5 得 2023 年该市人口总数. 详解：（Ⅰ）由题设，得 ， ， ， ， ∴ ， 所以 ∴所求 关于 的线性回归方程为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，当 时， . 据此估计 2023 年该市人口总数约为 196 万. 点睛：本题主要考查回归分析，考查最小二乘法，意在考查学生对这些基础知识的掌握 能力及基本的运算能力. 18．在 中， 角 A，B，C 的对应边分别为 a，b， ，且 ． 求角 B 的大小； 若 的面积是 ，且 ，求 b． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 由题意利用正弦定理角化边，结合同角三角函数基本关系和特殊角的三角函数值可得 ． 结合三角形面积公式和余弦定理计算可得 ． 【详解】 ， ， 又 ， ， ， ， ． ， , ， ， ． 【点睛】 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若 出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、 余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车 单车共享服务，由于其依托“互联网 ”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了 人们的关注 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享 单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 百分制 按 照 ， ， ， 分成 5 组，制成如图所示频率分直方图． 求图中 x 的值； 求这组数据的平均数和中位数； 已知满意度评分值在 内的男生数与女生数的比为 ，若在满意度评分值为 的人中随机抽取 2 人进行座谈，求恰有 1 名女生的概率． 【答案】（1） ；（2）平均数为 ，中位数为 ；（3） ． 【解析】 【分析】 利用频率分布直方图小长方形面积之和为 1 求解 x 的值即可； 由平均数公式计算平均数即可，利用左右两侧面积均为 0.5 计算中位数即可. 首先确定男女生的人数，然后利用古典概型计算公式求解满足 题意的概率值即可. 【详解】 由 ， 解得 ． 这组数据的平均数为 ． 中位数设为 ， 则 ， 解得 ． 满意度评分值在 内有 人， 其中男生 3 人，女生 2 人．记为 , 记“满意度评分值为 的人中随机抽取 2 人进行座谈，恰有 1 名女生”为事件 A 通过列举知总基本事件个数为 10 个，A 包含的基本事件个数为 6 个， 利用古典概型概率公式可知 . 【点睛】 解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明 显的有组距、 ，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个 等量关系：小长方形面积＝组距× ＝频率，小长方形面积之和等于 1，即频率之和 等于 1，就可以解决直方图的有关问题． 20．已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项． 求数列 的通项公式； 设 ，求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 设数列 的公比为 q，结合 是 和 的等差中项求得 q 的值，然后求解数列的 通项公式即可； 首先求得 的通项公式，然后错位相减求解其前 n 项和即可. 【详解】 设数列 的公比为 q， 因为 ，所以 ， ． 因为 是 和 的等差中项， 所以 ． 即 ，化简得 ． 因为公比 ，所以 ． 所以 因为 ， 所以 ． 所以 ． 则 ， 得， ， ， 所以 ． 【点睛】 本题的核心是考查错位相减求和的方法，一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等 比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以 等比数列{bn}的公比，然后作差求解． 21．如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， ， 底面 ABCD，M、N 分别为 PC、PB 的中点 ． 求证： 平面 PAD； 求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 由题意结合几何关系和线面平行的判定定理证明 平面 PAD 即可； 利用几何体的空间特征可证得 平面 ADMN，然后利用线面垂直的定义即可证得 题中的结论. 【详解】 因为 M、N 分别为 PC、PB 的中点， 所以 ，且 ． 又因为 ， 所以 ． 又 平面 PAD，MN 不属于平面 PAD， 所以 平面 PAD． 因为 AN 为等腰三角形 ABP 底边 PB 上的中线， 所以 ． 因为 平面 ABCD， 平面 ABCD， 所以 ． 又因为 ，且 ， 所以 平面 PAB． 又 平面 PAB， 所以 ． 因为 ， ，且 ， 所以 平面 ADMN． 又 平面 ADMN， 所以 ． 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的定义与判定定理等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 的圆心为 Q，过点 且斜 率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A，B． 求 k 的取值范围； 是否存在常数 k，使得向量 与 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说 明理由． 【答案】（1）k 的取值范围为 ；（2）没有符合题意的常数 k． 【解析】 【分析】 首先写出直线方程，联立直线方程与圆的方程，结合韦达定理得到关于 k 的不等式， 求解不等式即可求得 k 的取值范围； 假设存在满足题意的常数 k，由题意求得实数 k 的值，结合(1)中求得的 k 的取值范围 可得没有符合题意的常数 k． 【详解】 圆的方程可写成 ， 所以圆心为 ，过 且斜率为 k 的直线方程为 ． 代入圆方程得 ， 整理得 直线与圆交于两个不同的点 A，B 等价于 ， 解得 ， 所以 k 的取值范围为 ． 设 ， ， 则 ， 由方程 ， 又 而 ． 所以 与 共线等价于 ， 将 代入上式，解得 ． 由 1 知 ， 故没有符合题意的常数 k． 【点睛】 处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法； 若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．