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- 2021-04-13 发布
2018-2019 学年九龙坡区教育质量全面监测（中学）
高二（上）数学（文科）试题
数学（文科）试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知直线 ，则直线 的倾斜角为
A． B． C． D．
2．抛物线 的准线方程为
A. B. C. D．
3．命题“ ，使 ”的否定为
A． B．
C． D．
4．由点 引圆 的切线的长是
A． 2 B． C． 1 D． 4
5．已知函数 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为
A．-3 B． C．3 D．
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆
有公共焦点，则 C 的方程为
A． B． C． D．
7．已知互不重合的直线 ,互不重合的平面 ,给出下列四个命题,错误的命题是
A．若 ,则 B． 若 , ,则 //
C．若 ,则 D．若 , , ,则
: 3= −l y x l
22y x=
1
8y = − 1
4y = − 1
2y = − 1y = −
x Z∀ ∈ 2 2 1 0x x+ − <
2, 2 1 0x Z x x∃ ∈ + − ≥ 2, 2 1 0x Z x x∃ ∈ + − >
2, 2 1 0x Z x x∀ ∈ + − > 2, 2 1 0x Z x x∀ ∈ + − ≥
(1,3)p 2 2 9x y+ =
19
3( )f x x= (1, (1))f 1 0ax y− + = a
1
3
− 1
3
2 2
2 2: 1( 0, 0)− = > >x yC a ba b
2
2
=y x
2 2
112 3
+ =x y
2 2
18 4
− =x y 2 2
15 4
− =x y 2 2
14 2
− =x y 2 2
16 3
− =x y
,a b ,α β
,a bα β α β⊥ ⊥ ⊥， a b⊥ α β a α a β
, , aα β α γ β γ⊥ ⊥ = a α⊥ a α a β bα β = a b
[机密]2019 年
1 月 25 日前
8．实数 满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
9．已知过抛物线 的焦点 且斜率为 1 的直线交抛物线于 两点，
，则 的值为
A． 2 B． 4 C． D． 8
10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角
形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱
锥.现有一如图所示的堑堵 ， ， ，当堑堵
的外接球的体积为 时，则阳马 体积的最大值为
A． 2 B．4 C． D．
11．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的
导函数．若 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知双曲线 的左、右顶点分别为 点 为双曲线的左焦点，
过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 两点, 连接 交
轴于点 . 连接 , 延长线交 于点 , 且 , 则双曲线 的离心率为
A． B． 2 C． 3 D． 5
二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案写在答题卡相应的位置
上．
13．在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， BD1 与平面 ABCD 所成角的正弦值
为 ．
,x y 2 2 2 0+ + =x y x 1−
y
x
[ 3, 3]− ( , 3] [ 3, )−∞ − +∞
3 3[ , ]3 3
− 3 3( , ] [ , )3 3
−∞ − +∞
( )2 2 0= >y px p F ,A B
16⋅ =AF BF p
2 2
1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ 1 2=A A 1 1 1ABC A B C−
8 2
3
π 1 1B A ACC−
2
3
4
3
(0, )+∞ ( )f x ( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( )f x′ ( )f x
( 2018) ( 2018) (1)− > −f m m f m
(0,2018) (2018, )+∞ (2018,2019) (2019, )+∞
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > , .A B F
F x C P Q、 PB
y E AE EA QF M QM MF= C
2
1 1
1
2
2
正视图 左视图
俯视图
A
BC
A1
B1C1
M
N
14．已知函数 ,则 的单调递增区间为 ．
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为 ．
16．设 分别是椭圆 的左、右焦点，
为椭圆上任一点，点 的坐标为（8，5），
则 的最大值为________．
三、解答题：本大题共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
17．（本小题满分 10 分）已知命题 ；命题 ：关于 的方程 有两
个不同的实数根.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
18．（本小题满分 12 分）已知方程 ，
（1）若方程 表示圆，求实数 的范围；
（2）在方程表示圆时，该圆与直线 相交于 M、N 两点，且 ，
求 的值．
19．（本小题满分 12 分）如图所示，在直三棱柱 中， 为正三角形，
， 是 的中点， 是 中点．
（1）证明： ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，
求该正三棱柱的底面边长．
( ) ln 1= − −f x x x ( )f x
1 2,F F
2 2
149 33
x y+ =
P M
1PM PF+
1: 2
>p m q x 2 22 0x x m− + =
p q∧ m
p q∨ p q∧ m
2 2: 4 0+ + + =C x y x m
C m
: 2 4 0l x y+ − = 4 55MN =
m
1 1 1ABC A B C− ABC∆
1=2AA 1AC
1 1∥平面MN BCC B
−N MAB 3
A
B
C
DE
20．（本小题满分 12 分）已知函数 , 曲线 在点
处的切线方程为 , 在 处有极值．
(1)求 的解析式．
(2)求 在[0,4]上的最小值.
21．（本小题满分 12 分）如图，△ABC 中， ， 是边长为 6 的
正方形，平面 ⊥底面 ．
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）求几何体 的体积.
22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 ，P 为 C 的下顶点， F 为其右
焦点，点 G 的坐标为 ，且 ,椭圆 C 的离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知点 ，直线 交椭圆 于不同的两点 , 求
面积的最大值.
3 2( )f x x ax bx c= + + + ( )y f x= (1, (1))P f
4 1= − +y x ( )y f x= 3=x
( )f x
( )y f x=
2
2
= =AB BC AC ACDE
ACDE ABC
CB EAB
AEDCB
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > >
( ,0)−b 2 2⋅ =PF PG 3
2
C
(4,2)H 1: ( 0)2
= + ≠l y x m m C ,A B ∆HAB
2018-2019 学年九龙坡区教育质量全面监测（中学）
高二（上）数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题：1-5 题： CAACB 6-10 题：DBCCD 11-12 题： CC
二、填空题：
13． 14．（0，1） 15． 16．
17.（1）当命题 为真时，则 ，解得 . …………………………2 分
若 为真，则 真 真，
∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围为 . ………………………………………………5 分
（2）若 为真命题， 为假命题，则 一真一假，
若 真 假，则 ，解得 ；…………………………………7 分
若 假 真，则 ，解得 .…………………………………9 分
综上所述，实数 的取值范围为 .……………………………10 分
18．（1）∵方程 表示圆，
∴ ...................................3 分
即 m＜4.......................................4 分
（2）∵方程
圆心（-2，0）到直线 x+2y﹣4=0 的距离 ..........7 分
∵圆 c 与直线 l：x+2y﹣4=0 相交于 M、N 两点，且|MN|= ，
∴ ，………………………………9 分
解得 ........................................10 分
19．（Ⅰ）证明：如图，连接 B1 C，
3
3
13
6
π
14 41+
1 1m− < <
p q∧
1
2
1 1
m
m
>
− < <
1 12 m< <
1 ,12
1
2
1 1
m
m m
>
≤ − ≥ 或
1
2
1 1
m
m
≤
− < <
11 2m− < ≤
[ )11, 1,2
− +∞
2 2: 4 0+ + + =C x y x m
2 2( 2) 4 0+ + = − >x y m
2 2:( 2) 4+ + = −C x y m
2 0 4 6
5 5
− + −= =d
2 26 2 54 ( ) ( )55
− − =m
4= −m
P
A
BC
A1
B1C1
M
N
M 是 A1C 的中点，
又 N 是 A1B1 的中点，
MN// B1 C ， ………………………………………3 分
又 MN ，B1 C ，
MN// . ………………………………………6 分
（Ⅱ）解： ， ………………………………………7 分
M 是 A1C 的中点，
M 到平面 ABB1A1 的距离是 C 到平面 ABB1A1 的距离的一半，
如图，作 交 AB 于 P，由正三棱柱的性质，
易证 平面 ABB1A1，………………………………………9 分
设底面正三角形边长为 ，
则三棱锥 M−ABN 的高 ，……………………………10 分
，
所以，
解得 .
所以该正三棱柱的底面边长为 ．………………………………………12 分
20．解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=3+2a+b.
∴ k= f′(1)= 3+2a+b= - 4 ①
曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y-f(1)= -4(x-1),
即 y=-4x+4+ f(1)=-4x+1
∴f(1)= - 3=1+a+b+c ②
∵y=f(x)在 x=3 处有极值,所以 f′(3)=0,
∴27+6a+b=0 ③
由①②③得，a= - 5,b=3,c= -2
所以 ...............................................................6 分
(2)由(1)知 f′(x)=3x2-10x+3=(3x-1)(x-3).
1 1平面BCC B 1 1平面BCC B
1 1平面BCC B
− −=N MAB M ABNV V
⊥CP AB
⊥CP
a
1 3
2 4
= =h CP a
1 22
= × × =
ABNS a a
21 3 33 12− −= = ⋅ = =
N MAB M ABN ABNV V S h a
2 3=a
2 3
3 2( ) 5 3 2= − + −f x x x x
A
B
C
DE
G
令 f′(x)=0,得 x1=3, x2= .
当 x∈[0, )时,f′(x)>0;
当 x∈ 时,f′(x)<0;
当 x∈ 时,f′(x)>0,
……………………………………10 分
又因 ，所以 f(x)在区间[0,4]上的最小值为-11...................12 分
21．(1)证明：∵ACDE 为正方形，∴EA⊥AC，
又∵平面 ACDE⊥平面 ABC，平面 ACDE∩平面 ABC＝AC，EA⊂平面 ACDE，
∴EA⊥平面 ABC，∴EA⊥BC.
又∵AB＝BC＝ AC，
∴BA2＋BC2＝AC2，
∴BC⊥AB.
又∵EA∩AB＝A，∴CB⊥平面 EAB..................6 分
(2)取 AC 的中点 G，连 BG，
∵AB＝BC，且 AB⊥BC，AC=6
∴BG⊥AC，且 BG＝3，又平面 ACDE⊥平面 ABC
∴BG⊥平面 ACDE，∴V＝ ×6×6×3＝36...............................12 分
22．(1) (1)由题意得
∴ …………………………………3 分
∴所求椭圆的方程为 . …………………………………4 分.
(2)设直线 的方程为 ,
1
3
1
3
1[ ,3)3
[3,4]
( ) (3) 11∴ = = −极小值f x f
(0) 2= −f
, 2= =PF a PG b
2 2 2
, 2, 13
2
⋅ = ∴ = =
=
a b
a bc
a
2
2 14
+ =x y
l 1: ( 0)2
= + ≠y x m m
由 得 .............................6 分
由题意得, ,
得， 或 ..................................7 分
设 ,则 ,
.............................................................................8 分
又由题意得, 到直线 的距离 .
的面积 ..............10 分
当且仅当 ,即 时取等号,且此时满足 ,
所以 面积的最大值为 1..................................................................12 分
2
2
1
2
14
= +
+ =
y x m
x y
2 22 2 2 0+ + − =x mx m
2 24 4(2 2) 0= − − > m m
2 0− <