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- 2021-04-13 发布
赤峰二中 2016 级高二上学期期末考试
文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分
钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1、已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部和虚部的比值为（ ）
A. B. C. D.
2、函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-19
3. 双曲线虚轴的一个端点为 ，两个焦点为 、 ， ，则双曲线的离
心率为（ ）
A B C D
4.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 ，则此球的体积为
（ ）
A
．
π B
．
4 π C
．
4 π D
．
6 π
5.用反证法证明命题“ 可被5整除，那么 中至少有一个能被5整除”，那么假
设的内容是（ ）
A. 都能被5整除 B. 有一个不能被5整除 C. 不能被5整除 D. 都不能被5整
除
6.在 中， 分别为角 所对的边，若 ，则此三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2 3
2
iz i
−= + i z
1
8
− 1
8 8− 8
13)( 3 +−= xxxf
M 1F 2F 0
21 120=∠ MFF
3 2
6
3
6
3
3
abNba ,, ∈ ba,
ba, ba, a ba,
ABC∆ , ,a b c , ,A B C 2 cosa b C=
7.下列命题正确的个数有( )
（1）命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件.
(2)命题“ ,使得 ”的否定是:“对 , 均有 ”.
(3)经过两个不同的点 、 的直线都可以用方程
来表示.
(4）在数列 中, , 是其前 项和,且满足 ，则 是等比数列.
（5）若函数 在 处有极值 10，则 .
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8.如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积
为( )
(A) (B) (C)4+2π (D)4+π
9. 已知椭圆 C： 的左、右焦点为 ，离心率
为 ，过 的直线 交 C 于 A,B 两点，若 的周长为 ，则 C
的方程为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 f（x）的导函数 f′（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）
的图象最有可能的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到 轴的P 2 4y x= P ( )0,2A P y
p q∧ p q∨
Rx ∈∃ 2 1 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + >
1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 2 1( )( )y y x x− − =
1 2( )(x x y− 1)y−
{ }na 11 =a nS n 22
1
1 +=+ nn SS { }na
223)( abxaxxxf +−+= 1=x 114 == ba ，
π23
8 + π+
3
8
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
21, FF
3
3
2F l BAF1∆ 34
1812
22
=+ yx 13
2
2
=+ yx 123
22
=+ yx 1412
22
=+ yx
距离之和的最小值为（ ）
12.A. 2 B. C. D.
12.已知函数 ( 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 的取值范
围是
A．
B． C．
D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13～21 题为必考题,每个试题考生必须作答.第 22、
23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)
13.．曲线 在点（e，f（e））处的切线方程为
14.已知点 是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．
15.已知命题 p：“ x∈[1,2]， ”，命题 q：“ x∈R，
”，若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是
16.在 上可导的函数 ，当 时取得极大值，当
时取得极小值，则 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项数列 的前 项和为 ，且 、 、 成等差数列．
（1）证明数列 是等比数列；
（2）若 ，求数列 的前 项和为
5 5 1+ 5 1−
( )1,1
2 2
14 2
x y+ =
R 3 21 1( ) 23 2f x x ax bx c= + + + (0,1)x∈
(1,2)x∈ 2
1
b
a
−
−
{ }na n nS
+1
1
nnbb n nT
xaexxxf −= ln)( e a
)1,0( e ),0( e ),1( ee ),( e−∞
xy ln=
∀ 03 2 ≥− ax ∃
0222 =−++ aaxx
Sn na 1
{ }na
2log 2n nb a= +
18.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求C；
（2）若 的面积为 ，求△ABC 的周长．
19．如图所示，在四棱锥 中，四边形 为矩
形， 为等腰三角形， ，平面 平面
，且 ， ， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积.
20．如图，抛物线 的焦点为 ，抛物线上一定点 .
（1）求抛物线 的方程及准线的方程；
（2）过焦点 的直线（不经过点 ）与抛物线交于 两点，与准线
交于点 ，记 的斜率分别为 ， ， ，问是否存在常数，使
得 成立？若存在 ，求出 的值；若不存在，说明理由.
21.已知函数 f（x）＝ax－l＋lnx，其中 a 为常数．
（Ⅰ）当 时，若 f（x）在区间（0，e）上的最大值为一 4，求 a 的
值；
（Ⅱ）当 时，若函数 存在零点，求实数 b 的取值范
围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2cos ( cos cos )C a B +b A c＝
7c ABC∆＝ ， 3 3
2
P ABCD− ABCD
PAD∆ 90APD∠ = PAD ⊥
ABCD 1AB = 2AD = ,E F ,PC BD
/ /EF PAD
PDC ⊥ PAD
P ABCD−
)1,( ea −−∞∈
ea 1−=
2
ln)()( b
x
xxfxg −−=
22.．(本小题满分 10 分）已知圆锥曲线 C： 为参数）和定点 ,
是此圆锥曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程；
（ Ⅱ ） 经 过 点 ， 且 与 直 线 垂 直 的 直 线 l 交 此 圆 锥 曲 线 于 M 、 N 两 点 ， 求
的值.
23.选修 4-5：不等式选讲.【全,品…中&高考+】
已知函数 .
（1）求函数 的值域 ；
（2）若 ，试比较 ， ， 的大小.
=
=
θ
θ
sin3
cos2
y
x θ( )3,0(A
21, FF
2AF
1F 2AF
|||||| 11 NFMF −
( ) | 2 1| | 1|f x x x= − + +
( )f x M
a M∈ | 1| | 1|a a− + + 3
2a
7 22 a−
赤峰二中 2016 级高二上学期期末考试
文科数学试卷答案
一、选择题
1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10.A 11.D 12.A
二、填空题
13. 14. 15.a≤－2 或 1≤ a≤3. 16.
三、解答题
17.（1）证明：由题意 、 、 成等差数列， ………………………1 分
当 时， = ……………………………………………………2 分
当 时， 两式相减得
……………4 分
因此数列 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列…………………………………5 分
（2）解：由（1）知 …7 分
………………………………………………8 分
18.解：（1）由已知及正弦定理得， ，
即 ． 故 ．
可得 ，∴ ．
（2）由已知， ． 又 ，所以 ．
由 已 知 及 余 弦 定 理 得 ， ． 故 ， 从 而
．
nS na
{ }na
( )( )1
1 1 1 1
1 2 1 2n nb b n n n n+
= = −+ + + +
0=− eyx 032 =−+ yx )1,4
1(
1 ∴ 2 1n na S= +
1n = 1 12 1a S= + 1a∴ 1
2n ≥ 1 12 1, 2 1,n n n nS a S a− −= − = −
1 1
1
2 2 2 ( 2) 0 2 ( 2)n
n n n n n n
n
aa a a a a n a na− −
−
= − ∴ = ≥ ≠ ∴ = ≥
1
1 1
1 2 2n n
na a − −= ⋅ = 1
2 2log 2 log 2 2 1n
n nb a n−∴ = + = + = +
1 2
1 1 1 1 1 1... ( ) ( ) ... ( )2 3 3 4 1 2
1 1 .......................................................................................102 2 2( 2)
n nT b b b n n
n
n n
= + + + = − + − + + −+ +
= − =+ +
则
分
2cos (sin cos sin cos ) sinC A B + B A C＝
2cos sin( ) sinC A+ B C＝ 2cos sin sinC C C＝
1cos 2C＝ π
3C＝
1 3 3sin2 2ab C＝ π
3C＝ ab＝6
2 2 2 cos 7a b ab C+ − ＝ 2 2 13a b+ ＝
2 25a b+（ ）＝
所以△ABC 的周长为 ．
19．解：(1)如图所示，
连接 . ∵四边形 为矩形，且 为 的中点,
∴ 也是 的中点. 又 是 的中点， ,
∵ 平面 ， 平面 . 平面
(2) 证明：∵平面 平面 ， ，平面 平面 ，
∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴平面 平面 .
(3)取 的中点 ，连接 . ∵平面 平面 ， 为等腰三角形，
∴ 平面 ，即 为四棱锥 的高. ∵ ，∴ . 又 ，
∴四棱锥 的体积 .
20.
显然 ，
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
5 7+
AC ABCD F BD
F AC E PC / /EF AP
EF ⊄ PAD AP ⊂ PAD / /EF∴ PAD
PAD ⊥ ABCD CD AD⊥ PAD ∩ ABCD AD=
CD ⊥ PAD CD ⊂ PDC PDC ⊥ PAD
AD O PO PAD ⊥ ABCD PAD∆
PO ⊥ ABCD PO P ABCD− 2AD = 1PO = 1AB =
P ABCD− 1 2
3 3V PO AB AD= ⋅ ⋅ =
则 ，
又 Q(1,2),则 。
21 ． 试 题 解 析 ： （ Ⅰ ） 由 题 意 ， 令 解 得 因 为
， 所 以 ， 由 解 得 ， 由 解 得
从而 的单调增区间为 ，减区间为
所以， ， 解得， ．
（Ⅱ）函数 存在零点，即方程 有实数根，
由已知,函数 的定义域为 ，当 时， ，所以
，当 时， ；当 时， ，所以，
的单调增区间为 ，减区间为 ,所以 ， 所以，
≥1. 令 ，则 . 当 时， ；
当 时 ， 从 而 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ， 所 以 ，
， 要使方程 有实数根，
/ 1( )f x a x
= + / ( ) 0f x = 1x a
= −
/ ( ) 0f x > 10 x a
< < − / ( ) 0f x <
1 x ea
− < < ( )f x 1(0, )a
− 1( , )ea
−
2a e= −
( )f x { | 0}x x >
/ ( ) 0f x > / ( ) 0f x <
( )f x
| ( ) |f x 0 x e< <
x e> ( )g x (0, )e ( , )e +∞
)1,( ea −−∞∈ ea
<−< 10
4)1ln(11)1()( max −=−+−−=−=
aafxf
2
ln)()( b
x
xxfxg −−=
2
ln)( b
x
xxf +=
ea 1−= xe
xxf ln1)( +−−=
ex
ex
xexf
−−=+−=′ 11)( ex <<0 ex >
),0( e ),( +∞e 1)()( max −== efxf
2
ln)( b
x
xxh +=
2
ln1)( x
xxh
−=′ 0)( >′ xh
)(xh
2
1)()( max
b
eehxh +==
2
ln)( b
x
xxf +=
只需 即可，则 . 12 分
22.解析：
22.解：（Ⅰ）C： ，轨迹为椭圆，其焦点
即 即
--------5 分
（Ⅱ）由（1） ， , l 的斜率为 ，倾斜角为 300，
所以 l 的参数方程为 （t 为参数）代入椭圆 C 的方程中，得：
因为 M、N 在 的异侧, 所以
--------10 分
23.解：（1） 根据函数 的单调性可知，当 时，
.所以函数 的值域 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，知 ， ，
所以 ，所以 ，所以 .
12
1)()( max ≥+== b
eehxh eb 22 −≥
3 , 1,
1( ) 2 , 1 ,2
13 , .2
x x
f x x x
x x
− < −
= − − ≤ ≤
>
( )f x 1
2x =
min
1 3( ) ( )2 2f x f= = ( )f x 3[ , )2M = +∞
a M∈ 3
2a ≥ 30 12a
< ≤
| 1| | 1| 1 1 2 3a a a a a− + + = − + + = ≥ 3
2a ≥ 1 0a − > 4 3 0a − >
( 1)(4 3) 02
a a
a
− − > 3 7 22 2 aa
> − 3 7| 1| | 1| 22 2a a aa
− + + > > −