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- 2021-04-13 发布
2019年春四川省棠湖中学高二第一学月考试
数学（理工）试题
（满分：150分 考试时间：150 分钟）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 抛物线y=x2的准线方程是（ ）
A.y=- B.y=- C.y= D.y=
2. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为（ ）
A.-1 B.1 C.3 D.-3
3. 已知直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )
A. B. C. D.
5．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B． y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x
6. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．－ D.
7．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．－1
8．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 （ ）
A．53 B．54 C．35 D．45
9．若满足且，则方程解的个数为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则的解集为
A． B．
C. D．
11.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知抛物线的焦点为，是准线上的一点，是直线与的一个交点，若，则
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）
13.已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为___________。
14.已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．
15.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，,当周长最小时，该三角形的面积为 ．
16.已知若有两个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题．（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内）
17．（本小题满分10分）
已知 “直线与圆相交”； “有一正根和一负根”，若为真， 为真，求的取值范围．
18. （本小题满分12分）
已知函数，当时，的极大值为；当时，有极小值。求：（1）的值；（2）函数的极小值。
19. （本小题满分12分）
如图，已知中心在原点O，焦点在x轴的椭圆C的离心率为，点A,B分别是椭圆C的
长轴，短轴的端点，点O到直线AB的距离为.
（1）求椭圆C的方程。
（2）已知点,设点P,Q是椭圆C上的两动点，满足EPEQ,求的最小值。
20. （本小题满分12分）
2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣.
（1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取的名学生中对尼球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
附:
21.（本题满分12分）
已知函数
（1）求函数的极大值点和极小值点；
（2）若恰好有三个零点，求实数取值范围.
22.（本题满分12分）
已知函数，其中为常数.
（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若对，都有，求的取值范围.
2019年春四川省棠湖中学高二第一学月考试
数学（理工）试题答案
一．选择题
1-5 BBABA 6-10 CCBAA 11-12BC
二、填空题
13. 13. 14. x2＋y2＝16 15. 16.
三．解答题
17．解:∵直线x+y﹣m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则d＜1，
∴1＜m＜1，即p：1＜m＜1．
∵mx2﹣x+m﹣4＝0有一正根和一负根，
∴设f（x）＝mx2﹣x+m﹣4，
若m＞0，则满足f（0）＜0，即，解得0＜m＜4．
若m＜0，则满足f（0）＞0，即，此时无解
综上0＜m＜4．即q：0＜m＜4．
又∵p∨q为真，非p为真，
∴p假，q真，即，即．
∴m∈[1，4）．
18.（Ⅰ）…………………………2分
时函数取得极大值，时函数取得极小值…………………3分
是方程的根，即为方程的两根……………………4分
解得…………………………5分
………………………………6分
又时取得极大值
……………………10分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
函数的极小值为.……………12分
19.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
解得
……………………………4分
椭圆的方程为 . …………………………………5分
（Ⅱ）
……………7分
设，则
又
当时，的最小值为. ……………………12分
20.解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
合计
根据列联表中的数据，得到
所以有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”………………………5分
（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，
即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，
有题意知
………………………9分
从而的分布列为
………………………12分
21.解:（1） 得；
在和上为增函数；在上为减函数
函数的极大值点为，极小值点为 ………………………6分
（2）若恰好有三个零点，则 又得 ………12分
22.解：求导得，所以.
又，所以曲线在处的切线方程为.
由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.………………………3分
对，，所以在区间内单调递减.
（1）当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.
（2）当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，
结合得.………………………7分
（3）当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.
故，由恒成立知，，，所以.
又的最大值为，由得，
所以.
设，则，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.
综上所述，所求的取值范围是.………………………12分