物理复赛光学模拟试题及答案 12页

高二物理竞赛光学试题 （时间： 2 小时，每题 10 分，共 10 题） 1、有一根玻璃管，它的内、外半径分别为 r 和 R，充满发光液，在 射线的影响下， 发光液会发出绿光。对于绿光，玻璃和液体的折射率分别为 n 1 和 n 2。 如果有人从外表面观察，玻璃管的厚度似乎为零，请问比值 R r 必须满足何条件？ 分析： 引起玻璃管壁厚度为零的感觉， 是因为有部分来自液体的光线射出管外时， 沿着 玻璃管外表面的切线方向到达眼睛。 由于系统呈圆柱体对称， 故只需考虑一条沿着管壁切线方向射出并与管轴垂直的光线就 可以了。图中，若光线由液体中射入玻璃中的折射角 取值越大，则由玻璃射向空气的入 射角 取值越大。而 越大，则越容易出现光线沿管壁切线方向射出的情况。可见，只需 对 和 取值最大时能使光线沿管壁切线方向射出的情况进行讨论就可以了。 解：如图，设 O为圆心，某一条光线自管内壁之 A 点 射向外壁之 B 点，则 AOB 中，由正弦定理 有 180sinsin OBOA 即 sin sin R r （※） （1）若 12 nn ，则 的最大值可取 90max ，此 时由（※）式则有 R rsin 此时若要有光线能沿管壁切线方向射出，则 应不小于临界角 C，即应有 1 1sinsin nR rC 综合以上两式知此时的条件为 1 1 nR r （2）若 12 nn ，则由折射定律知 的最大值应满足 1 maxsin n na 以此代入（※）式知此时的角 将满足 1 2sin n n R r 同上道理， 还应不小于临界角 C，即 1 1sinsin n C A B R O r 2n 1n 1n M N i A r 综合以上两式知此时的条件为 1 1 nR r 2、声音在空气中传播，由于空气温度不同，结果沿着半径为 25km的圆弧， 从 A地传到 相距 14km的 B 地，如图所示，若已知水平线 AB的气温为 18℃，声速为 342km/s ，声速随温 度的变化为 0.6Av v t ，已知这一地区空气的温度在同一高度是相同的，求出“声道” 最高点的气温及气温随高度变化的规律（声波的折射规律与光波相同） 解: 温度随高度变化的空气层，可看成许多与地面平行的薄层，如图所示（图中 y 表示 竖直方向） , 依折射定律 1 2 1 2 1 2 sin sin n v n v 得 31 2 1 2 3sin sin sin vv v i i i 在声道的最高点，如图所示， 090Mi 。 在 A 点 2 2( ) 2sin A lR i R 因此最高点声速为 sin 356 / sin M M A A iv v m s i 由 0.6( )M A M Av v t t 得 356 34218 41 0.6 0.6 M A M A v vt t C 要求气温随温度变化的规律，可先求声速随高度变化的规律，在声道上任取一点 D，设 其高度为 y , 由图可看出 Di CDE ，根据几何知识可得 (sin sin )D Ay R i i ，即 sin sinD A yi i R 由折射定律得 sin (1 ) sin sin D D A A A A i yv v v i R i 0.6 0.6 sin D A A D A A A v v vt t t y R i 3、一条窄的激光束在折射率为 n1 的媒质中传播，射向半径为 R的透明球。球心到光束 的距离为 L，光束宽度比球的半径小得多，球是由折射率为 n2 的光疏媒质制作的 121）。试 求光束与原方向的偏角。 分析：由原题图有，对于发生反射的临界值 I 有 1 2sin n nRRI 临临 。 由此可得，如果 1 2 2 R l n n ， 发生全反射所求的偏角为 R larcsin2 。 当 1 2 n n R l 时，光路图如图 33-122 所示，有 2 。因为 R larcsin ， n sinarcsin 。 所以当 1 2 n n R l 时，所求的偏角为 R l Rn Ln arcsinarcsin2 2 1 。 解：如果 1 1 2 R l n n ，偏角为 R larcsin2 。 l O R1n 2n l O R1n 2n C 如果 1 2 n n R l ，偏角为 R l Rn Ln arcsinarcsin2 2 1 。 4、有一玻璃半球，右侧面镀银，光源 S就在其对称轴 SO上（ O 为球心） ，且 SO水平， 如右图所示。 从光源 S发出的一束光射到球面上， 其中一部分光经球面反射后恰能竖直向上 传播， 另一部分光折入玻璃半球内， 经右侧镀银面第一次反射恰能沿原路返回。 若球面半径 为 R，玻璃折射率为 3 ，求光源 S与球心 O 之间的距离 SO为多大？ 解：如图所示， 2 1 sin sinn 31 9023 可得： 601 °， 302 ° 5、如图，由透镜 L 和凹面反射镜 M 所组成的光学系统，凹面反射镜半径为 30cm，距 透镜 L 右 10cm，现在透镜 L 左 10cm 处有一点光源 P ，发出光线经 L 折射、 M 反射再经 L 折射与光轴交于 P ，且 P 与 P 重合，求透镜 L 的焦距。 解一：设透镜 L 的焦距为 f P 经 L 成像 1P ： 1 10u cm 1 1 1 1 1 u v f （1） S O S O θ θ θ βα 1P 通过 M 成像 2P ： 2 110u v 1 2 1 1 2 10 v v r （2） 2P 通过 L 成像 3P ： 3 210u v ， 3 10v cm 2 1 1 2 10 10v f （ 3） 由以上三式可解得 20f cm 或 5f cm 要使系统中物 P 与像 P 重合，透镜 L 应是焦距为 20cm或 5cm的凸透镜。 解二：从 P 发出的光经 L 折射再经 M 反射后， 要使再经 L 折射后光与光轴交点 P 与 P 重合， 一种可能对 M 点反射光与入射光重合，由光线可逆原理， 其像 P 必将与 P 重合。对 M 来说，只有径向光线满足反射光与入射光重合，即 P 经 L 所成像必须在 M 的曲率中心。 选 1O 为原点， 1 110, 20S S ，由成像关系 1 1 1 , 20( ) 20 10 f cm f 另一种可能 M 反射光与入射光相对于光轴对称，根据透镜 L 的轴对称性，反射光经 L 折射后必交于 P 点。选 1O 点为原点， 1 110, 10S S ，由成像关系得 1 1 1 , 5( ) 10 10 f cm f 6、如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线） ，另一个 端面是球面， 球心位于轴线上． 现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射． 当 光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为 a；当光线从 球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为 b．试近似地求出玻璃的折 射率 n 解答： 入射的两条光线如图所示。 α1、β1 是从平端入射的光线通过球形端面时的入射角和折 射角； α2、β2 是从球形端面入射的光线通过球面时的入射角和折射角。根据折射定律有 nsin α1=sin β1 (1) sin α2=nsin β2 (2) 由几何关系有 β1=α1+δ1 (3) α2=β2+δ2 (4) 设球面的半径为 R，注意到 α 1、α2、 δ1、δ2 都是小角度， 故有 Rα1=aδ 1 (5) Rα2=bδ2 (6) 根据题给的条件， (1) 、(2) 式可近似表示成 nα1=β1 (7) α2=nβ2 (8) 由 (3) 式 - (8) 式得 a bn (9) 7、一斜劈形透明介质劈尖，尖角为 ，高为 h . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标 系如图 (a) 所示； 劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的， 在图 (a) 中看来， 每一个小台 阶的前侧面与 xz平面平行，上表面与 yz平面平行 . 劈尖介质的折射率 n随 x 而变化， ( ) 1n x bx ，其中常数 0b . 一束波长为 的单色平行光沿 x 轴正方向照射劈尖；劈尖 后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与 z 方向平行、 沿 y 方向排列的透光狭缝， 如图 (b) 所示 . 入射光的波面 （即与平行入射光线垂直的平面） 、 劈尖底面、档板平面都与 x 轴垂直，透镜主光轴为 x 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在 透镜焦点处得到加强而形成亮纹 . 已知第一条狭缝位于 y = 0 处；物和像之间各光线的光程 相等 . 1. 求其余各狭缝的 y 坐标； 2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求 . h x y z O h x y O 8、干涉膨胀仪结构示意如图所示。 ,AB CD 是玻璃平板， MN 是膨胀系数极小的石英 圆环。 W 是被测样品， 当 0℃时其高度为 h ，它的上表面与平板 AB 之间形成一劈尖状空气 隙。以波长为 的单色光垂直照射可以观察到平行的干涉条纹。 如果让样品的温度逐渐升高 （此时石英圆环的高度可以认为是不变的） ，并在升温的过程中观察干涉条纹的变化。假定 在温度上升到 t℃的过程中，观察到移过某一点的干涉条纹数为 n ，证明 ,被测样品的线胀系 数为 (2 ) n ht 解：干涉条纹每移动一个，即说明光程差改变了 。 又 2d 所以 2 d n 1 2 d n 又由热膨胀， 0 0(1 ),tl l at l h 0 0td l l l t h t 所以 1 2 n h t 9、薄壁透明圆柱形玻璃容器浮于水面，容器的内底面与容器外水面的高度差为 h，容 器的内直径为 D。在容器底正中放有一个小物体 A。实验证明，在水面上方容器外侧存在一 个看不见 A 的“盲区” 。已知水的折射率为 n=4/3，sin48°36ˊ=0.75 ，假定水面与玻璃表面 垂直，试确定此盲区的范围。 分析： 从 A 点发出的一细束光 AB，如图 33-110 所示。 B 点在容器壁与水面的交界处。 光束Ⅰ是直接从空气中射出的光， 光束Ⅱ是经过水的折射后的折射光。 这两条光的中间区域 看不到从物体 A 上发出的光，因此是看不见 A 的“盲区” 。 解： 根据光的折射公式 4 31 sin sin nr i 而 22 22 4) 2 ( 2sin hD D hD D i h D A i D A r I II 图 33-110 所以 22 43 4sin 3 4sin hD Dir 当 hD 7 76 时， 1sin r ， 90r 所以当 hD 7 76 时，与容器壁的夹角为 )4/(sin 221 hDD 到 22 43 4arcsin hD D 的区域为盲区。 当 hD 7 76 时，当容器壁的夹角大于 22 4 arcsin hD D 的区域为盲区。 10、如图所示， 一个附着有小珠的屏， 当入射光聚焦在小珠的后表面时会把入射光反射 回光源。对在水中 (n=4/3)穿紧身衣潜水者来说，理想情况下小珠要用折射率多大的材料？ 解：如图 33-120 所示，选择平行于 OP轴的近轴光线，会聚于 P 处 则 12 sinsin inin 又 ∵ 22sin ii 11sin ii 且 13 ii 23 2ii ∴综合解得 3 82nn 3/4n P 者 水 潜 n 1i2i 3iO