2016年高考数学（理科）真题分类汇编M单元　推理与证明 2页

数 学 M 单元 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理 M2 直接证明与间接证明 23．D5，M2[2016·上海卷] 若无穷数列{an}满足：只要 ap＝aq(p，q∈N*)，必有 ap＋1＝ aq＋1，则称{an}具有性质 P. (1)若{an}具有性质 P，且 a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，求 a3； (2)若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1，b5 ＝c1＝81，an＝bn＋cn，判断{an}是否具有性质 P，并说明理由； (3)设{bn}是无穷数列，已知 an＋1＝bn＋sin an(n∈N*)，求证：“对任意 a1，{an}都具有性 质 P”的充要条件为“{bn}是常数列”． 23．解：(1)因为 a5＝a2，所以 a6＝a3，a7＝a4＝3，a8＝a5＝2， 于是 a6＋a7＋a8＝a3＋3＋2.又因为 a6＋a7＋a8＝21，所以 a3＝16. (2){bn}的公差为 20，{cn}的公比为1 3 ， 所以 bn＝1＋20(n－1)＝20n－19，cn＝81·(1 3)n－1＝35－n， an＝bn＋cn＝20n－19＋35－n. a1＝a5＝82，但 a2＝48，a6＝304 3 ，a2≠a6， 所以{an}不具有性质 P. (3)证明：充分性： 当{bn}为常数列时，an＋1＝b1＋sin an. 对任意给定的 a1，若 ap＝aq，则 b1＋sin ap＝b1＋sin aq，即 ap＋1＝aq＋1， 充分性得证． 必要性： 用反证法证明．假设{bn}不是常数列，则存在 k∈N*，使得 b1＝b2＝…＝bk＝b，而 bk＋1 ≠b. 下面证明存在满足 an＋1＝bn＋sin an 的{an}，使得 a1＝a2＝…＝ak＋1，但 ak＋2≠ak＋1. 设 f(x)＝x－sin x－b，取 m∈N*，使得 mπ>|b|，则 f(mπ)＝mπ－b>0，f(－mπ)＝－m π－b<0，故存在 c 使得 f(c)＝0. 取 a1＝c，因为 an＋1＝b＋sin an(1≤n≤k)，所以 a2＝b＋sin c＝c＝a1， 依此类推，得 a1＝a2＝…＝ak＋1＝c. 但 ak＋2＝bk＋1＋sin ak＋1＝bk＋1＋sin c≠b＋sin c，即 ak＋2≠ak＋1. 所以{an}不具有性质 P，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意 a1，{an}都具有性质 P”的充要条件为“{bn}是常数列”． M3 数学归纳法 M4 单元综合 3．[2016·福州质检] 观察等式： sin 30°＋sin 90° cos 30°＋cos 90° ＝ 3， sin 15°＋sin 75° cos 15°＋cos 75° ＝1， sin 20°＋sin 40° cos 20°＋cos 40° ＝ 3 3 .照 此 规 律 ， 对 于 一 般 的 角 α ， β ， 有 等 式 ________________________________________________________________________． 3. sin α＋sin β cos α＋cos β ＝tanα＋β 2 [解析] 等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切 值恰好等于右端的数值，故 sin α＋sin β cos α＋cos β ＝tanα＋β 2 . 4．[2016·达州诊断] 已知 2＋2 3 ＝22×2 3 ， 3＋3 8 ＝32×3 8 ， 4＋ 4 15 ＝42× 4 15 ， …， 若 9＋b a ＝92×b a(a，b 均为正整数)，则 a＋b＝________． 4．89 [解析] 由已知等式可归纳出 n＋ n n2－1 ＝n2× n n2－1 ，故在 9＋b a ＝92×b a 中，b＝9， a＝92－1＝80，所以 a＋b＝89.