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- 2021-04-13 发布
2017-2018学年天津市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题
一、单选题
1．设（为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：把 代入，利用复数的四则运算法则计算即可.
详解： ，故选C.
点睛：本题考查复数的计算，属于基础题.
2．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.
详解： ，所以，
切线方程为： 即.
令，则；
令，则，故面积为，故选A.
点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题.
3．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：考虑4个函数在上的导数的符号即可.
详解：对于A中的函数，有，当时， 的符号有正有负，故在上不是增函数；
对于B， ，当时， ，故在上不是增函数；
对于C， ，当时， ，故在上不是增函数；
对于D， ，当时， ，故在上是增函数；
故选D.
点睛：如果在区间内，有，则在上为单调增函数；如果在区间内，有，则在上为单调减函数.反之，若在上为单调增函数，则；若在上为单调减函数，则.
4．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：构建新函数，由得到为上的增函数，结合得到不等式的解集为 .
详解：令，则，从而为上的单调增函数，有，而即为，从而其解集为，故选B.
点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集.
5．用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：数学归纳法证明该命题时，归纳假设为“设当时， ”，而要归纳证明的结论是：“”，所以增加的项数为.
详解：推证时，要证明的结论为
，
从而增加的项数为，故选C.
点睛：在数学归纳法的证明中，我们要关注从归纳假设到归纳证明的不等式之间的变化特点，必要时可写出数列和的末两项或末三项，便于看出规律.
6．已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.
详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，
令，则.
当时， ，故在上为减函数；
当时， ，故在上为增函数；
所以，故，故选D.
点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.
7．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.
详解：设且到直线的距离最小，
又，令，则，故.
此时到直线的距离为，故选B.
点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.
8．设函数 ，若 是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：先求出 ，根据在处取极大值得到有零点且在的左侧附近为，在的右侧附近.分三种情况讨论即可得到的取值范围.
详解： ，
因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.
当时， ，此时，
当时， ，
当时，
故在处取极大值.
当时， 应为的较小的正根，故，故；
当时， 有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.
综上， 的取值范围为，故选A.
点睛：对于上的可导函数，
（1）若在处取极大值，则且在
的左侧附近为正，在的右侧附近为负；
（2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附近为正.
9．函数的大致图象如图所示,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出的值.
详解：由图像可知有三个实数解，分别为，
故，所以.
注意到为的极值点，故它们也是的两个根.
又，故C.
点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式.
10．已知, ,若存在， ，使得，则称函数 与 互为“度零点函数”.若与互为“1 度零点函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：
详解： ，所以， ，
故在内存在零点，也就是在内存在零点.
令 ，故.
当时， ， 在上为增函数；
当时， ， 在上为减函数，
故在上的值域为，故选B.
点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.
二、填空题
11．已知函数 ，则 的值为__________．
【答案】-6
【解析】分析：函数表达式中有两个参数 ，因此需要构建的方程组求出它们的值后才能求的值．
详解：令，则①．
又，故令得，
由①得，故， ，所以．
填．
点睛：本题考查函数解析式的求法，因原函数中含有特定导数值，故常利用导函数构建与特定导数值相关的方程或方程组，解出它们的值即可．
12．曲线 与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．
【答案】
【解析】分析：封闭图形为两个曲边梯形的面积之差，故可以利用定积分求它的面积．
详解：令，解得（舎）或．如图，
所求面积为．
点睛：曲边梯形的面积可由定积分求出，这类问题是基础题．
13．设，若函数 有大于零的极值点，则的范围为__________．
【答案】
【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．
详解： ，令，则方程有正根，即．
又的值域为，故即．填．
点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．
14．对大于或等于 2 的自然数 的 次方幂有如下分解式：
， ， ， ； ， ， ； ， ；按此规律， 的分解式中的第三个数为__________．
【答案】125
【解析】分析：从题设的条件可以看出， 是个连续奇数的和， 是从个连续奇数的和，故也是个连续奇数的和．
详解：令，则，故，
从而，其分解式中的第三个数为，填．
点睛：本题考查合情推理，属于基础题，解题的关键是从特殊情况归纳出一般结论．
15．已知函数 （ ），其中．若函数仅在处有极值， 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】分析：导函数，因此代数式在上为非负，利用判别式非正得到实数的取值范围．
详解： ，
因为仅在取极值，故对任意的恒成立，
故，解得，填．
点睛：函数的导函数为，该函数仅在处取极值的充要条件是在上恒非负或恒非正．
16．设函数 ， ，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：因任意，总有，所以，可利用基本不等式和导数分别求出 ，从而解出的范围．
详解：因为在上， ， 当且仅当等号成立，
故在的最小值为．
又，则
当时， ，故在为增函数；
当时， ，故在为减函数，
故．
因任意，总有，所以，
故，解得， 填．
点睛：（1）任意，总有，所以；
（2）任意存在，使得成立，所以
；
（3）存在存在，使得成立，所以．
三、解答题
17．设数列的前项和为，满足， ，且.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
【答案】（Ⅰ）， ; （Ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）分别令就可以求得， .
（Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测，利用数学归纳可证明该猜测.
详解：(Ⅰ) ， .
（Ⅱ）由题意得，
由（1）知， ， ，猜想，则数列为等差数列，
①假设当， 时，猜想成立，即，则有
，
②当时，有，
这说明当时，猜想也成立，
结合①②，由归纳原理知，对任意， .
点睛：与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当时，命题成立，也可以假设时，命题成立，然后再证明， 也成立.
18．已知函数
（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为， 应为其子集，故可求实数的范围.
（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.
详解：（Ⅰ） ，
因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.
因为函数在上为增函数，所以，所以.
（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故
方程在区间内恰有两个相异的实根即
方程在区间内恰有两个相异的实根.
令，则，
当时， ， 在为减函数；
当时， ， 在为增函数.
的图像如图所示：
要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.
点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.
19．已知定义在正实数集上的函数， ，其中.设两曲线, 有公共点，且在该点处的切线相同
（Ⅰ）用表示，并求的最大值；
（Ⅱ）时，求证：
【答案】（Ⅰ）,; （Ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）可设公共点为，由 得到且，利用导数讨论该函数的单调性就可以得到实数的取值范围.
（Ⅱ）构建新函数，利用导数可求得的最小值点为，从而，也就是.
详解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同.
∵,,由题意， .
即，由得： 或（舍去）.
即有，
令，则.于是
当，即时， ；
当，即时， .
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为.
（Ⅱ）设，
则 .
故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是.
故当时，有，即当时， ．
点睛：切线问题的核心是切点的横坐标，通过它沟通切线的斜率和函数在切点横坐标的导数．函数不等式的证明可以构建新函数，通过导数求出新函数的最小值为零即可．
20．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）求证： （， 是自然对数的底数）.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为;（Ⅱ）; （Ⅲ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别解不等式、，可求得的增区间和减区间.
（Ⅱ）构建新函数， 不等式在上恒成立等价于在恒成立，而，分三种情形讨论可得实数的取值范围为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得不等式， ，故有，利用累加及其裂项相消法可以得到： ，化简后可得到要证明的不等式.
详解：（Ⅰ）当时， ，
.
由解得，由解得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立.
设，只需即可.
由,
（ⅰ）当时， ，
当时， ，函数在上单调递减，
故成立；
（ⅱ）当时，由，因，所以
，
①若，即时，在区间上， ，则函数在上单调递增， 在上无最大值；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立.
综上所述，实数的取值范围是.
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时， 在上恒成立，又，
∵
，
∴.
点睛：复杂函数的性质的讨论，可以通过导数先刻画函数的单调性（与导数的正负有关），再刻画函数的极值，从而讨论与函数相关的不等式恒成立问题.而数列不等式的证明往往需要利用题设条件构建新的函数不等式，通过赋予自变量特殊的值求得数列不等式，最后利用新的数列不等式去证明题设中的不等式.