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- 2021-04-13 发布
大庆实验中学2017-2018学年度上学期期中考试
数学(理)试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则这2007名学生，每人入选的可能性( )．
A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等，且为 D. 都相等，且为
2．阅读如图的程序框图，若输入，则输出的值为( )．
A. B. C. D.
3．如图是年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )．
A. B. C. D.
4．抛物线的准线方程是( )．
A. B. C. D.
5．把黑、红、白张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是( )．
A. 对立事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 互斥但不对立事件
6．如果个数的平均数为，则的平均数为 ( )．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7．“”是“ ”的( )．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
8．双曲线的渐近线与圆相切，则( )．
A. B. C. D.
9．有下列四个命题：
①“若, 则互为相反数”的逆命题；
②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；
③“若,则有实根”的逆否命题；
④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为( )．
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
10．已知命题 若为钝角三角形，则；命题若，则或，则下列命题为真命题的是( )．
A. B. C. D.
11．已知椭圆的右焦点为，为左顶点，为椭圆上动点，则能够使的点的个数为( )．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12．点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是9，则的值等于( )．
A. 4 B. 7 C. 6 D. 5
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．十进制数转化为进制数为__________．
14．某路公交车站早上在准点发车，小明同学在至之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是__________．
15．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是___________________．
16． 如图为抛物线上的动点，过分别作轴与直线的垂线，垂足分别为，则的最小值为_____________.
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本题满分10分)已知，命题，
命题．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．
18．(本题满分12分) 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段： ， ， ，…后得到如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；
(2)用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数.
19． (本题满分12分) 已知动点(其中)到轴的距离比它到点的距离少.
（1） 求动点的轨迹方程；
（2） 若直线与动点的轨迹交于、两点，求的面积.
20． (本题满分12分) 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为．
(1)求满足的概率；
(2)设三条线段的长分别为和，求这三条线段能围成等腰三角形（含等边三角形）的概率．
21． (本题满分12分) 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程.
22．(本题满分12分)已知椭圆的左、右顶点分别为为左焦点，，且椭圆过点．(1)求椭圆的方程；(2)点和分别在椭圆和圆上（不与点重合），设直线的斜率分别为,，若三点共线，求的值．
数学（理）参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
D
A
A
A
C
B
C
B
二、 填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17.解：⑴因为命题，
令，根据题意，只要时，即可， 也就是；
…………………………4
⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，，
命题q为真命题时，，解得
因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，
…………………………6
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，…………………………8
综上：实数的取值范围是 …………………………10
18、(1)由图可知众数为75，中位数为73．3，
平均数为……………6
(2)各层抽取比例为，各层人数分别为6,9,9,18,15,3，所以抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人………………………12
19．(1)由已知，即： ，
又…………………………………………………………5分
(2)设，不妨令
过点，
……………………………………8分
联立
则满足
，且………………………10分
.………………………………………………12分
20、先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．………………………2分
(1)由于，
∴满足条件的情况只有，或两种情况． ……………4分
∴满足的概率为． …………………………………………5分
(2)三条线段能围成等腰三角形的概率为．…………………………………12分
21．（1）由椭圆，则，
将代入椭圆， ，解得： ，
故椭圆的方程；………………………4分
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，
则，………………………6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程，设，
则，消去，整理得： .
则，
，………………………8分
，
，
，
由，解得： ，
直线的方程.………………………12分
22．(1)由已知可得，又解得．
故所求椭圆的方程为．………………………4分
(2)由(1)知．设
所以．因为在椭圆上，
所以，即．
所以 ①………………………7分
由已知点在圆上，为圆的直径，
所以．所以 ………………………10分
由三点共线，可得．……②
由①、②两式得．………………………12分