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- 2021-04-13 发布
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淮北一中2019-2020学年度高一年级第一学期期中考试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.若，则集合的真子集共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据n元集合有2n﹣1个真子集，结合集合{6，7，8}共有3个元素，代入可得答案．
【详解】因A＝{6，7，8}共3个元素
故集合A＝{6，7，8}共有23﹣1＝7个真子集
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n元集合有2n个子集，有2n﹣1个真子集，是解答的关键．
2.的定义域是( )
A. (－2，0)∪(1，2) B. (－2，0]∪(1，2)
C. (－2，0)∪[1，2) D. [－2，0]∪[1，2]
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式即得函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则,解得x∈(－2，0)∪[1，2)，
即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．
故选：C
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查分式不等式和二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3.函数的零点所在区间为（ ）
A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意知，函数，
因为，，
所以，
又根据基本初等函数的单调性，可得函数函数为定义域上的单调递增函数，所以函数在区间上存在零点，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的零点存在定理，以及基本初等函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.设,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.
【详解】因为，，，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查利用指、对数函数单调性比较数值大小，难度一般.
利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.
5.已知集合，若，则的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．
【详解】∵集合
∴
若，即时，满足条件；
若，则.
∵
∴或
∴或
综上，或或.
故选C.
【点睛】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．
6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果.
【详解】当时，，可排除选项；
当时，， 时，，可排除选项
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项.
7.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到函数的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案.
详解】函数，
所以，解得或，
所以定义域为
又因函数是复合函数，
其外层函数为增函数，
所以要使为增函数，则内层是增函数，
则
所以可得单调增区间为
故选：.
【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题.
8.已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知函数为增函数，根据复合函数的单调性法则可知在上单调递减，且，即可求解.
【详解】因为，所以在上是增函数，
令，而是减函数，所以在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得.
故选C.
【点睛】本题主要考查了复合函数的增减性，对数函数的性质，属于中档题.
9.已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断是上的增函数，原不等式等价于，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可.
【详解】因为与都是上的增函数，
所以是上的增函数，
又因为
所以等价于，
由，知,
当时，在上单调递减，故，从而；
当时，在上单调递增，故，从而，
综上所述， 的取值范围是或，故选C.
【点睛】解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．
10.已知函数，若定义在上的奇函数，有，则（ ）
A. 2 B. 0 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】
先构造函数并得出是奇函数，则，则，.
【详解】设，
则，∴是奇函数，
，
又是奇函数，∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和应用，尤其是构造函数并判断其奇偶性是本题的关键，属中等难度题.
11.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月)的关系有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过
③浮萍从蔓延到需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到所经过的时间分别为则.其中正确的是
A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
【答案】D
【解析】
由函数图象可知,该函数过点(1,2),所以a=2,则,故①正确;当t=5时,y=32>30,故②正确;当t=2时,y=4,当时,t=log212,因为log212-2-1.5>0,所以浮萍从蔓延到需要经过的时间超过1.5个月,故③错误;第一个月增加1,第二个月增加2,第三个月增加4,因此④错误;浮萍蔓延到所经过的时间分别为,则,即,所以,故⑤正确.因此正确的是①②⑤.
点晴：本题考查的是函数模型的应用。解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．
12.设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，进而研究其单调性和奇偶性，
将变形为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】令，
，有，。
所以为R上的偶函数，又在上有，
所以，即在上单调递增，在上单调递减.
又，所以，
即，，解之得，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查构造函数并研究其单调性和奇偶性、利用函数的性质解不等式，体现数学运算、逻辑推理等核心素养，属难题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则________.
【答案】9
【解析】
【分析】
令真数为1,可得定点的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入的坐标,可得幂函数解析式,从而可得.
【详解】令,得此时,故,
设幂函数解析式,
依题意有,即,解得,
所以,
所以.
故答案为:9
【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,幂函数概念,待定系数法,属于基础题.
14.设，则______．
【答案】-1
【解析】
由题意，得；故填.
15.若函数对于任意实数x恒有，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
将等式变为，两式联立解方程组即可.
【详解】因为，
所以，
两式联立解之得：．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式，属中等难度题.
16.某中学为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究的学习能力，他们以函数为基本素材研究该函数的相关性质，某研究小组6位同学取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数的零点为；
②同学乙发现：函数是奇函数；
③同学丙发现：对于任意的都有；
④同学丁发现：对于任意的，都有；
⑤同学戊发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足
；
⑥同学己发现：求使的x的取值范围是．
其中正确结论的序号为________．
【答案】② ③ ④
【解析】
【分析】
①与②按零点的概念和奇函数的定义直接判断，③与④代入等式推理论证，⑤判断函数的单调性即可，⑥解不等式即可.
【详解】①不正确；在②中，，所以函数为奇函数，②正确；在③中，对于任意，有
又，所以③是正确的；在④中，对于任意的，有，
又，所以④是正确的；在⑤中，对于函数的定义域中任意的两个不同实数，，总满足，即说明是单调递增函数，但是减函数，所以⑤不正确；在⑥中，函数的定义域为，结合得x的取值范围是，所以⑥不正确.
综上可知，其中正确结论的序号为② ③ ④．
故答案为：② ③ ④．
【点睛】本题主要考查与对数型复合函数有关的零点、奇偶性、单调性、不等式及恒等式的证明问题，知识面广、综合性强，属较难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17.（1）计算：（1）；
（2）．
【答案】（1）（2）21
【解析】
【分析】
根据指数和对数的运算性质直接计算即可.
【详解】解：
（2）
【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质，属基础题.
18.已知全集为，函数的定义域为集合，集合.
（1）求；
（2）若，，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先求集合,再求其补集，再求即可；
（2）由，根据空集的定义，即空集是任意集合的子集，则需讨论
，两种情况，再列不等式组求解即可.
【详解】【解】（1）由得，函数的定义域.
，，得.
，∴.
（2），
①当时，满足要求，此时，得；
②当时，要，则，
解得；由①②得，.
【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算及集合间的包含关系，并利用集合间的关系求解参数的范围，重点考查了集合思想及分类讨论的数学思想方法，属中档题.
19.m为何值时，函数
（1）在上有两个相异零点；
（2）有两个相异零点且均比-1大．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意得：，解此不等式组即可；
（2）易知函数满足：，解之即可.
【详解】（1）
（2）由题意：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，主要有以下常见的结论：
设，方程
（1）两根都大于，
（2）两根都小于，
（3）一根大于m，一根小于，
（4）两根都在区间上.
20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求关于的函数表达式.
（2）当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【解析】
【分析】
（1）由题意：当时，．当时，设，利用函数单调性及最值列方程组可求出，进而能求出函数；
（2）依题意并由（1），得，当时，利用的单调性，求出，当时，利用的二次函数的性质，可求出，比较大小即可求出最大值．
【详解】（1）由题意得当时，.
当时，设，
由已知得解得所以.
故函数
（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意，由（1）可得，
当时，，；
当时，，.
所以当时，的最大值为12.5，
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【点睛】本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数在生产生活中的实际应用．
21.若定义在D上的函数f（x）满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有-M