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- 2021-04-13 发布
第二章 函数
第2节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性
题型15 函数的奇偶性
1. （2013山东文3）已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）.
A. B. C. D.
1.分析 利用奇函数的性质求解.
解析 当时，，所以.
因为为奇函数，所以.故选A.
2. (2013浙江文11） 已知函数，若，则实数____________.
2.分析 直接代入求解.
解析 因为，所以，即.
3. （2014广东文5）下列函数为奇函数的是（ ）.
A. B. C. D.
4.（2014重庆文4）下列函数为偶函数的是（ ）.
5.（2014新课标Ⅰ文5）设函数,的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.是偶函数 B. 是奇函数
C.是奇函数 D. 是奇函数
6.（2014湖南文15）若是偶函数，则 .
7.（2015安徽文4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）.
A． B． C． D．
7. 解析 选项A：的定义域为，故不具备奇偶性.故A错误；
选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点.故B错误；
选项C：是奇函数.故C错误；
选项D：是偶函数，且由，可得.故D正确.
故选D.
评注 1. 考查函数的奇偶性；2. 考查零点.
8.（2015北京文3）下列函数中为偶函数的是（ ）.
A. B. C. D.
8. 解析 函数为奇函数，为偶函数，与为非奇
非偶函数.故选B.
9.（2015福建文3）下列函数为奇函数的是（ ）.
A． B． C． D．
9.解析 函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数.故选D.
评注 考查函数的奇偶性．
10.（2015广东文3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.
A． B．
C． D．
10. 解析 函数的定义域为，关于原点对称.
因为，，所以函数既不是奇函数，
也不是偶函数.故选D.
评注 1.考查函数的奇偶性；2. 特殊值法的应用．
11.（2015湖南文8）设函数，则是（ ）.
A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C.偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
11. 解析 由已知的定义域为，关于原点对称.
又因为，所以为奇函数.
，当时，，即在上为增函数.
故选A.
12.（2015陕西文9）设，则（ ）.
A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数
C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数
12. 解析 因为，，所以，
又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数；
因为是增函数.因为，所以有零点.故选B.
13.（2015湖北文21）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是
偶函数， ，其中为自然对数的底数.
(1)求，的解析式，并证明：当时，，；
(2)设，，证明：当时，.
13. 解析 (1)由，的奇偶性及条件 ①
得 ②
联立式①式②解得，.
当时，，，故. ③
又由基本不等式，有，即. ④
(2)由(1)得 ， ⑤
， ⑥
当时，等价于， ⑦
等价于 ⑧
设函数 ，由式⑤式⑥，
有
当时，
（1）若，由式③式④，得，故在上为增函数，
从而，即，故式⑦成立.
（2）若，由③④，得，故在上为减函数，
从而，即，故式⑧成立.
综合式⑦式⑧，得.
14.（2016山东文9）已知函数的定义域为. 当时，； 当时，； 时， ，则（ ）.
A. B. C. D.
14. D 解析 由知，当时， 的周期为，所以.又当时，，所以.
于是.故选D.
15.（2016全国丙文16）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是____________.
15. 解析 当时，，又因为为偶函数，所以，，，所以曲线在点处的切线方程.
16.（2017全国2文14）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，,则 .
16.解析 因为是定义在上的奇函数，所以.
题型16 函数的单调性
1.（2014北京文2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）.
A. B. C. D.
1. 解析 在上为减函数；是定义域为的增函数；的定义域为；在上不单调，故选B.
2.（2014陕西文7）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）.
A. B. C. D.
3.（2014湖南文4）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）.
A. B. C. D.
4.（2014新课标Ⅱ文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
5.（2014天津文12）函数的单调递减区间是________.
6.（2015福建文15）若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于_______．
6.解析 由，得函数关于对称，故，则.
由复合函数单调性得在上单调递增，故，所以实数的最小值等于1．
评注 考查函数的图像与性质．
7.（2016北京文4）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）.
A. B. C. D.
7. D 解析 选项A错误：因为在区间上为增函数；
选项B错误：在上不单调，如；
选项C错误：函数在区间上为增函数；
选项D正确：指数函数在R上为减函数. 故选D.
8.（2016浙江文7）已知函数满足：且，下列选项正确的是（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8. B 解析 若，由条件知，则，所以.故选项B正确，其他3个选项可选特殊的函数逐一进行排除.故选B.
9.（2016北京文16）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间.
9. 解析 （1）因为，
所以的最小正周期.依题意，解得.
（2）由（1）知，.函数的单调递增区间为.
由，得.
所以的单调递增区间为.
10.（2016全国丙文21）设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明当时，；
（3）设，证明当时，.
10.解析 (1)，当时，；当时， ，所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，在处取得最大值，最大值为.
所以时，.故当时，，，即.
(3)由题设，设，则，令，，
解得.当时，， 单调递增；当时，，单调递减.由（2）知，，故，
又，故当时，.所以当时， .
11.（2017全国2文8）函数 的单调递增区间是（ ）.
A. B. C. D.
11.解析 若使函数有意义，则，解得或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为.
故选D.
题型17 函数的周期性
1.（2016江苏11）设是定义在上且周期为的函数，在区间上
，其中，若，则的值是 .
1. 11， 解析 由题意得，.
由，可得，则.
2.（2016北京文16）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间.
2. 解析 （1）因为，
所以的最小正周期.依题意，解得.
（2）由（1）知，.函数的单调递增区间为.
由，得. 所以的单调递增区间为.
题型18 函数性质的综合
1.(2013重庆文9) 已知函数，，则
（ ）.
A. B. C. D.
1.分析 运用奇函数性质，整体换元求解.
解析 因为与（即）互为倒数，所以与互为相反数.
不妨令，则，
而，
故，故选C.
2. (2013天津文7）已知函数是定义在上的偶函数， 且在区间上单调递增.
若实数满足， 则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.分析 根据函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式求解.
解析 因为所以原不等式可化为
又因为在区间上单调递增，所以即因为是偶函数，所以
又在区间上单调递减，所以所以
综上可知故选C.
3. (2013天津文8)设函数. 若实数满足
， 则( ).
A. B.
C. D.
3.分析 首先确定的范围，再根据函数的单调性求解.
解析 因为所以是增函数.因为的定义域是所以所以是上的增函数.
因为所以
因为所以所以故选A.
2. (2013湖南文4） 已知是奇函数，是偶函数，且，
，则等于（ ）.
A. B. C. D.
4.分析 根据奇、偶函数的性质，将和转化为列方程组求解.
解析 是奇函数，所以.又是偶函数，所以.
因为，所以.
又，所以.
由，得.故选B.
5. (2013福建文13）已知函数 .
5.分析 分步求函数值，先内后外.
解析 因为，所以，所以.
6．(2013福建文16）设，是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：（i）（ii）对任意当时，恒有
那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下对集合：
①
②
③
其中，“保序同构”的集合对的序号是_______.（写出“保序同构”的集合对的序号）.
6.分析 举例说明有符合条件的函数即可.
解析 ①取，符合题意.
②取，符合题意.
③取，符合题意.答案：①②③.
7. （2014浙江文7）已知函数，且，则（ ）.
A. B. C. D.
8.（2014大纲文12）奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（ ）.
A． B． C．0 D．1
9.（2014山东文9）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）.
A. B.
C. D.
10. （2014安徽文14）若函数是周期为的奇函数，且在上的解析式为，则 .
10. 解析 依题意得，
，
因此，.
11.（2014新课标Ⅱ文15）已知偶函数的图像关于直线对称，，则 .
12.（2014四川文13）设是定义在上的周期为的函数，当时，，则____________.
13.（2014浙江文15）设函数，若，则_________.
14. （2014安徽文15）若直线与曲线满足下列两个条件：
（1）直线在点处与曲线相切；
（2）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.
下列命题正确的是 . （写出所有正确命题的编号）
① 直线在点处“切过”曲线：；
② 直线在点处“切过”曲线：；
③ 直线在点处“切过”曲线：；
④ 直线在点处“切过”曲线：；
⑤ 直线在点处“切过”曲线：.
14. 解析 ①直线在处与曲线相切，且曲线位于直线的两侧，①对；②直线不是曲线在处的切线，②错；③中，，因此曲线在处的切线为，设，则，即是增函数，又，从而当时，，当时，，即曲线在
附近位于直线的两侧，③正确；④中，，因此曲线在处的切线为，设，则，即在上是减函数，且，同③得④正确；⑤中，，因此曲线在处的切线为，设，则，当时，，当时，，因此当时，，因此曲线在附近位于直线的一侧，故⑤错误.因此答案为①③④.
评注 本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图像可简化运算和推理的过程
15.（2014四川文15）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②若函数，则有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数有最大值，则.
其中的真命题有____________（写出所有真命题的序号）.
16.（2016天津文6）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
16. C 解析 由题意得
.故选C.
17.（2016上海文18）设是定义域为的三个函数，对于下列命题：①若，，均为增函数，则中均为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
17.解析 ①不成立，可举反例.
增函数加增函数必为增函数，增函数加减函数未必单调递减，这跟速度有关，因此可以举分段一次函数的形式，从速度快慢上控制.
如：，， .故①错误.
②由题意，，
，前两式求和后与第三式作差得，
同理可得，，故②正确.故选D.
评注 按照②的逻辑，得到有一步是将增函数减去增函数，初想其未必就一定是增函数.
18.（2016四川文14）若函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则 .
18. 解析 因为函数是定义在上的周期为的奇函数，所以，，所以.
19.（2016浙江文12）设函数.已知，且
，，则实数_____，______.
19. ； 解析 解法一：，
，
所以 ，解得 .
解法二： ，所以，
由，
所以，将带入，解得或（舍去）.即，所以.
20.（2016上海文23）已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围.
20.解析 （1）由，得，解得.
（2）有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解.
当时，，符合题意；当时，，.
综上所述，或.
（3）当时，，，所以在
上单调递减.因此在上单调递减，故只需满足，
即，所以，
即，设，则，.
当时， ；
当时，，又函数在单调递减，
所以.故.故的取值范围为.
评注 第（3）问还可从二次函数的角度考查，由整理得对任意成立.因为，函数的对称轴，故函数在区间上单调递增.所以当时，有最小值，由，得.故的取值范围为.
21.（2017全国1文9）已知函数，则（ ）.
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.的图像关于直线对称 D.的图像关于点对称
21.解析 由题意知，，所以的图像关于直线 对称，选项C正确，选项D错误，又，在上单调递增，在上单调递减，选项A，B错误.故选C.
22.（2017北京文5）已知函数，则（ ）.
A.是偶函数，且在上是增函数 B.是奇函数，且在上是增函数
C.是偶函数，且在上是减函数 D.是奇函数，且在上是减函数
22.解析 解法一：的定义域为，关于原点对称，由，可得为奇函数．由在上是增函数， 在上是减函数，易知在上是增函数．故选B．
解法二：作为选择题，也可以代特殊值进去，由，可猜是奇函数，的定义域为，由，，可猜是增函数.故选B．
解法三：由，可得为奇函数．由，所以在上为增函数.故选B．
解法四：令，且，则
.
因为，所以，所以.
又因为，所以，所以.所以在上为增函数，因为在上为奇函数，且，所以在上为增函数.故选B．
23.（2017天津文6）已知奇函数在上是增函数.若，，，则的大小关系为（ ）.
A. B. C. D.
23.解析 因为在上是奇函数，所以
，又因为在上是增函数，且，所以，即.故选C．
24.（2017山东文14）已知是定义在上的偶函数，且.若当时，，则 .
24.解析 因为，所以，又因为是偶函数，所以.
25.（2017江苏11）已知函数， 其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
25.解析 易知的定义域为，
因为，所以是奇函数．
又，且不恒成立，所以在上单调递增．
因为，所以，于是，即，解得．故填．