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- 2021-04-13 发布
数学
注意事项：
1．本试卷包括选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）两部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答
案填涂在答题卡上对应题目的答案处．考试结束后，交回答题卡．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.=（ ）
A. B. C. D.
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知角终边上一点的坐标为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5．若为第二象限角，且，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的零点在区间（）内，则=（ ）
A.0 B. C. 1 D. 2
7.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像所对应的函数单调增区间为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数则的值为（ ）
A. B. C. D. 5
9.在中国古代，折扇既实用也是文人雅士或家庭的装饰品，其扇面形状如右图实线部分所示。已知该扇面的圆心角为（弧度），扇面的面积为16，，则扇面的周长（外围实线部分）为（ ）
A. B. C. D.
10．函数的图象大致形状为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数则函数f(x)的值域为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的周期为，且，则函数 在区间上的零点的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数和函数的最小正周期之和为,则____．
14．已知幂函数的图象经过点，则的值为 ．
15．已知函数f(x)＝3cosx (x∈[0，]) 的图象与函数g(x)＝8tanx的图象交于P点，P点到y
轴的距离为，则_________．
16. 给出下列四个命题：
①函数是奇函数；
②若角是的一个内角，且，则是钝角三角形；
③已知是第四象限角，则；
④已知函数在区间单调递增，则．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分8分）
已知
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分8分）
已知集合的，集合．
（1）求，；
（2）设集合，若，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
设函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
x
y
O
2
（3）将函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像。若函数在区间上恰有5个零点，求的取值范围．
20．（本小题满分14分）
如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图，该摩天轮近似看作半径为4.8 m的圆，圆上最低点A与地面距离为0.8 m，摩天轮每60秒匀速转动一圈，摩天轮上某点B的起始位置在最低点A处。图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式；
(3)如果离地面高度不低于8m才能获得最佳观景效果，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间B点在最佳观景效果高度？
21．（本小题满分14分）
对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－kf(x)，其中k为整数，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．
(1)已知函数f(x)＝3sinx＋cosx，试判断f(x)是否为(－，)上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)＝x2－2x＋t，对任意的实数t∈(－∞，2]，f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.
22．（本小题满分14分）
已知函数，且满足.
（1）求的值；
（2）设函数，，若存在使得成立,求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程恰有4个不同的正根，求实数的取值范围.
参考答案
1. A 2. A 3． B 4. A 5． C 6． C. 7. B 8． D 9. C 10． B 11． D 12． B 13．3 14． 15． 16. ①②
17．解（1）因为tana＝＝3，所以sinα＝3cosα．
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝． ---- ------------------- 2分
因为p＜a＜p，所以cosa＝－． ------------------------ 4分
（2） ----------------- 8分
18．解：(1) 由，解得，
所以， - -------------------------- 2分
又在集合中，． --------------4分
(2)由(1)知
又因为所以 ------------ 6分
，即
所以实数的取值范围为 ---------------8分
19．解 （1）由图可知：，. --------- 2分
当时，，得 --------- 4分
又，所以． ------------5分
（2）ymin＝－2．
此时2x－＝2kp－，即x＝kp－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是{x∣x＝kp－，k∈Z}． --------------8分
（3）函数的零点为 ------10分
所以，且．所以的取值范围是 ----------12分
20解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故点B的坐标为，
∴h＝5.6＋4.8sin. --------------------4分
(2)点A在圆上转动的角速度是， 故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．-------------------8分
（3）由 --------------------10分
得
-------------------- 12分
故转动一圈最佳观景效果持续的时间为20秒
答：一个周期内B点在最佳观赏效果高度持续的时间为20秒．---------------- 14分
21.解：(1)f(x)为(－，)上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(－x)＝－2f(x)在
(－，)上有解.即：3sin(－x)＋cos(－x)＝－2(3sinx＋cosx)，
化简得：sinx＝－cosx， ----------------2分
解得：x＝－∈(－，)
所以f(x)是(－，)上的“2阶局部奇函数” ----------------3分
(2)由f(x)是[－2，2]上的“1阶局部奇函数”，
且f(x)＝log3(x＋m)要满足x＞－m，所以m＞2. ----------------4分
因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程f(－x)＝－f(x)在[－2，2]有解，即log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)，化简得：m2－x2＝1，x∈[－2，2]
所以m2＝1＋x2∈[1，5]， ----------------6分
又m＞2，所以x∈(2，]. ----------------7分
(3)因为f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(－x)＝－2f(x)恒有解.
即x2＋2x＋t＝－k(x2－2x＋t)，
化简得：(k＋1)x2＋2(1－k)x＋t＋kt＝0 ----------------9分
当k＝－1时，解得x＝0，所以k＝－1满足题意；
当k≠－1时，△≥0，即：4(1－k)2－4t(1＋k)2≥0对任意的实数t∈(－∞，2]恒成立，
即(1＋k)2t－(1－k)2≤0对任意的实数t∈(－∞，2]恒成立， ----------------11分
令g(t)＝(1＋k)2t－(1－k)2，g(t)是关于t的一次函数且为(－∞，2]上的增函数
则g(2)≤0，即：k2＋6k＋1≥0，解得：－3－2≤t≤－3＋2， ----------------13分
所以整数k取值的集合{－5，－4，－3，－2，－1}. ----------------14分
(也可以通过分离参数求k的取值范围)
22解： (1) 由，得或0.
因为，所以，所以. --------------------2分
（2），
所以；故的值域为 -------------4分
因为时，在上单调递增，，所以的值域为，由题意,考虑到，所以，解得；
综上：实数的取值范围是 -------------8分
（3）当时，，在上为增函数；
当时，.
可得在上为减函数，当时，. -----------10分
方程可化为，
即.
设,方程可化为.
要使原方程有4个不同的正根，
则关于方程在有两个不等的根， --------12分
则有，解得，
所以实数m的取值范围为. -------------14分