2021届高考数学一轮复习第四章平面向量第3讲平面向量的数量积课件 32页

第 3 讲　平面向量的数量积 课标要求 考情风向标 1. 通过物理中 “ 功 ” 等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 . 3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 . 4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 从近几年的高考试题来看，向量的数量积运算、向量的垂直等问题是高考的热点，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题目，常与平面几何、三角、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想 . 预计 2021 年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、解析几何等知识交汇命题为考向 1. 两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ ，则数量 | a || b |cos θ 叫做 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记作 a · b ，即 a · b ＝ | a || b |cos θ . 规 定零向量与任一向量的数量积为 0 ，即 0· a ＝ 0. 2. 平面向量数量积的几何意义 数量积 a · b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos θ 的乘积 . 3. 平面向量数量积的性质 设 a ， b 都是非零向量， e 是单位向量， θ 为 a 与 b ( 或 e ) 的 夹角，则 (1) e · a ＝ a · e ＝ | a |cos θ . (2) a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0. (3) 当 a 与 b 同向时， a · b ＝ | a || b | ； 当 a 与 b ______ 向时， a · b ＝－ | a || b |. 反 ≤ 4. 平面向量数量积的坐标运算 ⊥ 1.(2019 年北京 ) 已知向量 a ＝ ( － 4,3) ， b ＝ (6 ， m ) ，且 a ⊥ b ， 则 m ＝ ______. 8 解析： ∵ a ＝ ( － 4,3) ， b ＝ (6 ， m ) ， a ⊥ b ，∴ a · b ＝ 0 ，即－ 4× 6 ＋ 3 m ＝ 0 ， m ＝ 8. 2.(2018 年吉林调研 ) 如果向量 a ＝ (2,0) ， b ＝ (1,1) ，那么下 列结论正确的是 ( ) A.| a | ＝ | b | C.( a － b )⊥ b B. a · b ＝ 2 D. a ∥ b C 解析： | a | ＝ 2 ， | b | ＝ ， A 错； a · b ＝ 2 ， B 错； ( a － b )· b ＝ (1 ，－ 1)·(1,1) ＝ 0 ，∴ ( a － b )⊥ b ， C 正确 . 故选 C. 3.(2018 年北京 ) 设向量 a ＝ ( 1,0) ， b ＝ ( － 1 ， m ) ，若 a ⊥( m a － b ) ，则 m ＝ ________. － 1 4.(2016 年新课标 Ⅰ ) 设向量 a ＝ ( x ， x ＋ 1) ， b ＝ (1,2) ，且 a ⊥ b ，则 x ＝ __________. 考点 1 平面向量的数量积 例 1 ： (1) 已知 a ， b 为单位向量，其夹角为 60° ，则 (2 a － b )· b ＝ ( ) A. － 1 B.0 C.1 D.2 解析： (2 a － b )· b ＝ 2 a · b － b 2 ＝ 2 × | a | × | b |cos 〈 a ， b 〉 － | b | 2 ＝ 2×1×1×cos 60° － 1 ＝ 0. 故选 B. 答案： B (2)(2018 年新课标 Ⅱ ) 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， a · b ＝－ 1 ， 则 a ·(2 a － b ) ＝ ( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析： a ·(2 a － b ) ＝ 2 a 2 － a · b ＝ 2 － ( － 1) ＝ 3. 答案： B 答案： D 考点 2 平面向量的夹角 例 2 ： (1) (2017 年新课标 Ⅰ ) 已知向量 a ＝ ( － 1,2 ) ， b ＝ ( m, 1). 若向量 a ＋ b 与 a 垂直，则 m ＝ __________. 解析： a ＋ b ＝ ( m － 1,3) ，∵ ( a ＋ b ) ·a ＝ 0 ，∴－ ( m － 1) ＋ 2×3 ＝ 0 ，解得 m ＝ 7. 答案： 7 (2)(2019 年新课标 Ⅰ ) 已知非零向量 a ， b 满足 | a | ＝ 2| b | ，且 ( a － b )⊥ b ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) 答案： B (3)(2019 年新课标 Ⅲ ) 已知向量 a ＝ ( 2,2) ， b ＝ ( － 8,6) ，则 cos〈 a ， b 〉 ＝ __________. 考点 3 平面向量的模 例 3 ： (1) (2019 年新课标 Ⅱ ) 已知向量 a ＝ (2,3) ， b ＝ (3,2) ， ) 则 | a － b | ＝ ( 答案： A (2)(2017 年新课标 Ⅰ ) 已知向量 a ， b 的夹角为 60° ， | a | ＝ 2 ， | b | ＝ 1 ，则 | a ＋ 2 b | ＝ ________ ； 图 D22 (3)(2017 年浙江 ) 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ，则 | a ＋ b | ＋ | a － b | 的最小值是 ________ ，最大值是 ________ ； (4)( 多选 ) 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 θ ，下 列命题 为真命题的是 ( ) 答案： AD 答案： D 【 规律方法 】 (1) 求向量的模的方法：①公式法，利用 | a | ＝ 运算；②几何法，利用向 量的几何意义，即利用向量加减法的 平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方 法求解 . (2) 求向量模的最值 ( 范围 ) 的方法：①代数法，把所求的 模 表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法 ( 数 形结合法 ) ，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图 形求解 . 难点突破 ⊙ 三角函数与平面向量的综合应用 (1) 若 | a | ＝ | b | ，求 x 的值； (2) 设函数 f ( x ) ＝ a · b ，求 f ( x ) 的最大值 . 【 跟踪训练 】 1.(1) 0 与实数 0 的区别： 0 a ＝ 0 ≠0 ， a ＋ ( － a ) ＝ 0 ≠0 ， a · 0 ＝ 0≠ 0 ； (2) 0 的方向是任意的，并非没有方向， 0 与任何向量 平行，我们只定义了非零向量的垂直关系 . 2. a · b ＝ 0 不能推出 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ，因为 a · b ＝ 0 时，有可能 a ⊥ b . 3. 在运用向量夹角时，注意其取值范围是 [0 ， π]. 5. 向量数量积不满足消去律：如 a · b ＝ a · c 不能得到 b ＝ c .