2018-2019学年吉林省吉林市第一中学高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 18页

2018-2019 学年吉林省吉林市第一中学高一上学期期末考试 数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解出集合 Q 的元素，由集合的交集运算得到结果. 【详解】 集合 ,集合 ,则 . 故答案为：B. 【点睛】 这个题目考查了集合的交集的运算，题目简单. 2．下列各组函数是同一函数的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】依次判断函数的定义域和对应法法则,判断是否为同一函数. 【详解】 对于 A： 定义域是 R， 定义域内不包含 x=0，故不是同一函数；对于 B， ，x 的取值范围是 , 中 x 的取值范围是 ；对于 C， ，中 x 的范围是 , 中 x 的范围是 ，故不为同一函数；D. ， 定义域和对应法则相同，故是同一函数. 故答案为：D. 【点睛】 本题考查同一函数的判断与应用，是基础题．判断函数是否为同一函数主要看两个函数 定义域和对应法则，值域是否相同.解题时要认真审题，仔细解答． 3．函数 与 的图象交点的横坐标所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】该问题可转化为方程 ln（x+1）＝ 的解的问题，进一步可转化为函数 f（x）＝ ln（x+1）﹣ 的零点问题． 【详解】 令 f（x）＝ln（x+1）﹣ ，是增函数， ∵f（2）＝ln3﹣ f（1）＝ln2﹣1＜lne﹣1＝0， 又函数 f（x）在（1，2）上的图象是一条连续不断的曲线， ∴函数 f（x）在区间（1，2）内有零点，即 ln（x+1）＝ 有解， 此解即为函数 y＝ln（x+1）与 y＝ 的图象交点的横坐标． 故选：B． 【点睛】 本题考查函数零点的存在问题，本题中函数 y＝ln（x+1）与 y＝ 的图象交点的横坐标， 可转化为函数 f（x）＝ln（x+1）﹣ 的零点．注意函数与方程思想、转化与化归思想的 运用． 4．函数 的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D． 【答案】B 【解析】根据指数函数的图象和性质，当 a＞1 时，x＞0 时，为增函数，排除 C，D， 再讨论 x＜0 的单调性，即可得到答案． 【详解】 当 x＞0 时，y=ax，因为 a＞1，所以是增函数，排除 C、D， 当 x＜0 时，y=-ax，是减函数，所以排除 A． 故选：B． 【点睛】 本题考查了指数函数的图象和性质，需要分类讨论，去绝对值，属于基础题. 5． ， 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ； ③若 ， ， ，则 ④若 ， ， ，则 . A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】在①中，由面面平行的性质定理得 m∥β；在②中，m 与 n 平行或异面；在③ 中，m 与 β 相交、平行或 m⊂β；在④中，由 n⊥α，m⊥α，得 m∥n，由 n⊥β，得 m⊥β． 【详解】 由 α，β 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，知： 在①中，若 α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得 m∥β，故①正确； 在②中，若 m∥α，n⊂α，则 m 与 n 平行或异面，故②错误； 在③中，若 α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m 与 β 相交、平行或 m⊂β，故③错误； 在④中，若 n⊥α，m⊥α，则 m∥n， 由 n⊥β，得 m⊥β，故④正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题． 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 该 几 何 体 是 一 个 正 方 体 与 半 圆 柱 的 组 合 体 ， 表 面 积 为 ，故选 B． 7．点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PD⊥平面 ABCD，PD=AD，则 PA 与 BD 所成角的度 数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】 O C E P A B D 分别取 AC.PC 中点 O.E.连 OE,DE;则 OE//PA,所以 （或其补角）就是 PA 与 BD 所 成的角； 因 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥DC,PD⊥AD.设正方形 ABCD 边长为 2，则 PA=PC=BD= 所以 OD=OE=DE= , 是正三角形。 。故选 C 8．已知直线 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】试题分析： ，则 ，所以 或 . 【考点】两直线的平行关系. 9 ． 定 义 在 上 的 偶 函 数 满 足 ： 对 任 意 的 ， 有 ，又 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据 ，可推断 f（x）在[0，+∞）上单调递减，又由于 f （x）是偶函数，可知在（﹣∞，0]单调递增．进而由 f （3）＝f （﹣3）＝1，可得不 等式 f （x）＜1 的解集． 【详解】 ∵对任意的 x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有 ， ∴f（x）在[0，+∞）上单调递减， 又∵f（x）是偶函数， ∴f（x）在（﹣∞，0]单调递增． ∵f （3）＝f （﹣3）＝1， 由 f （x）＜1 得：x＜﹣3 或 x＞3， ∴不等式 f （x）＜1 的解集为{x|x＜﹣3 或 x＞3}， DOE∠ 2 2 2 DOE∆ 060DOE∠ = ( )1 2:3 2 5 0, : 3 1 2 0l x ay l a x ay+ − = − − − = 1 2/ /l l a 1 6 − 6 0 0 1 6 − 1 2/ /l l ( ) 23 2 3 1 0 6 0a a a a a− − − = ⇒ + = 0a = 1 6 − 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题． 10．已知函数 f（x）=|lgx|.若 0 = x12+y12﹣4x1+2y1﹣a2+5＝0…① x22+y22﹣4x2+2y2﹣a2+5＝0…② ①﹣②得：（x12﹣x22）+（y12﹣y22）﹣4（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）＝0 ∴4（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）＝0 ∴ …（） 将 A（x1，y1）、B（x2，y2），代入 x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16＝0 得： x12+y12﹣（2b﹣10）x1﹣2by1+2b2﹣10b+16…③ x22+y22﹣（2b﹣10）x2﹣2by2+2b2﹣10b+16…④ ③﹣④得：（x12﹣x22）+（y12﹣y22）﹣（2b﹣10）（x1﹣x2）﹣2b（y1﹣y2）＝0 ∴（2b﹣10）（x1﹣x2）+2b（y1﹣y2）＝0 即： +2b＝0，将（）代入得： +2b＝0 解得：b＝ ． 故答案为：B． 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系，考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关 键．和圆有关的问题，多数是数形结合来解决的，两圆间的位置关系，可以通过判断两 个圆心的距离和两圆的半径之和的关系来判断. 二、解答题 12 ． 是 奇 函 数 ， 则 ① 一 定 是 偶 函 数 ； ② 一 定 是 偶 函 数 ； ③ ；④ .其中正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【解析】由题意可得 f（﹣x）＝﹣f（x）①②根据偶函数的定义即可判断正误；③f（x） •f（﹣x）＝﹣f 2（x）≤0；④f（﹣x）+|f（x）|＝|f（x）|﹣f（x）＝0 不一定成立 【详解】 ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x） ①|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|是偶函数；故①正确 ②令 g（x）＝f（x）•f（﹣x），则 g（﹣x）＝f（﹣x）•f（x）＝g（x）是偶函数；故② 正确 ③由奇函数的性质可知，f（x）•f（﹣x）＝﹣f 2（x）≤0；故③错误 ④f（﹣x）+|f（x）|＝|f（x）|﹣f（x）＝0 不一定成立；故④错误 其中错误的有③④,正确的有①② 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的判断，解题的关键是熟练的应用奇偶函数的性质 13．已知圆 ： ，直线 ： ． （1）当 为何值时，直线 与圆 相切； （2）当直线 与圆 相交于 ， 两点，且 时，求直线 的方程． 【答案】（1） （2） 或 ． 【 解 析 】 试 题 分 析 ： (1) 将 圆 的 方 程 化 成 标 准 方 程 为 ， 则此圆的圆心为 ，半径为 ，根据圆心到圆心的距离等于半径列方程可求 的值； （2）由 ，根据点到直线距离公式以及勾股定理列方程求出 的值，从而可 得直线 的方程． 试题解析：将圆 的方程 化成标准方程为 ， 则此圆的圆心为 ，半径为 ． （1）若直线 与圆 相切，则有 ，解得 ； （2）过圆心 作 ，则根据题意和圆的性质， 得 ， 解 得 或 ， 故 所 求 直 线 方 程 为 或 ． C 2 2 8 12 0x y y+ − + = l 2 0ax y a+ + = a l C l C A B 2 2AB = l 3 4a = − 7 14 0x y− + = 2 0x y− + = C 2 2 8 12 0x y x+ − + = ( )2 24 4x y− + = ( )4,0 2 a 2 2AB = a l C 2 2 8 12 0x y x+ − + = ( )2 24 4x y− + = ( )4,0 2 l C 2 4 2 2 1 a a + = + 3 4a = − C CD AB⊥ 2 2 2 2 2 4 2 1 { 2 1 22 aCD a CD DA AC DA AB += + + = = = = 7a = − 1a = − 7 14 0x y− − = 2 0x y− − = 14．如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 面 ， 交 于点 ， 是 中点， 为 上一点． （ ）求证： ． （ ）确定点 在线段 上的位置，使 平面 ，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）要证 ，只需证明 平面 即可； （Ⅱ）当点 位于 的中点时，要证明 平面 ， 即可． 试题解析:（ ）证明：∵ 面 ， 平面 ， ∴ ， ∵底面 是正方形， ∴ ， 又 ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又∵ 平面 ， ∴ ． （ ）当点 位于 的中点时， 平面 ，理由如下： 连结 ， ∵在 中， 是 的中点， 是 的中点， ∴ ， P ABCD− PA ⊥ ABCD BD AC E F PC G AC 1 BD FG⊥ 2 G AC FG  PBD BD FG⊥ BD ⊥ PAC G CE FG  PBD FG PE 1 PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PA BD⊥ ABCD BD AC⊥ PA AC A∩ = PA ⊂ PAC AC ⊂ PAC BD ⊥ PAC FG ⊂ PAC BD FG⊥ 2 G CE FG  PBD PE PCE F PC G EC FG PE 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． 15．如图，正三棱柱 中，各棱长均为 4， 、 分别是 ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析 ；（2） 【解析】(1)根据几何关系得到 ，再由线面垂直得到 ，进而得到线面垂 直；（2）由（1）可知 平面 ， 为 与平面 所成的角，由三角形性 质得到 由等面积法可得 ， 即可求解. 【详解】 （1）证明：因为 且 为 的中点，所以 ，又在正三棱柱 中， 因为平面 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 因 为 ， 分 别 为 ， 的 中 点 ， 所 以 ， 又 因 为 ， ，所以 ，所以 ， ， 所以 ， ，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 . （2）设 ，由（1）可知 平面 ，所以 为斜线 在平面 内的 射影，所以 为 与平面 所成的角，由题可知 ， FG ⊄ PBD PE ⊂ PBD FG  PBD 所以 为等腰三角形，作 于 ，则 为 的中点，所以 ，由 等 面 积 法 可 知 ， 在 中 ， ， 所 以 ， 所以直线 与平面 所成的角的余弦值为 . 【点睛】 这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，直线和平面的夹角。求线面角，一是 可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还 可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面 角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角， 也可以建系来做。 16．已知圆心为 的圆，满足下列条件：圆心 位于 轴正半轴上，与直线 相 切，且被 轴截得的弦长为 ，圆 的面积小于 13. （1）求圆 的标准方程； （2）若点 ，点 是圆 上一点，点 是 的重心，求点 的轨迹方程； （3）设过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形 .是否存在这样的直线 ，使得直线 与 恰好平行？如果存在，求出 的方程；如 果不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析 【解析】（1）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆 C 的面积小 于 13，即可求圆 C 的标准方程；（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由重 心坐标公式得到 ，结合 ，代入得到轨迹方程；（3）分类讨论， 设出直线方程与圆的方程联立，利用判别式大于 0 得到 或 利用韦 达定理以及中点坐标公式得到 中点坐标为 ，由 ，则 ， 解得 ，即可得出结论． 【详解】 （1）设圆 ： ，由题意知 ， 解得 或 . 又∵ ，∴ ，∴圆 的标准方程为 . （2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由已知得： ，即 ，又 ， 所以 ，即 为所求. （3）当斜率不存在时，直线 的方程为 ，不满足题意. 当斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， . 又 ∵ 直 线 与 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 ， 联 立 ， 消 去 得 . ∴ ，解得 或 . ， . ∴ 中点坐标为 . 在平行四边形 中，则 ， 由于 ，则 ，∴ ，解得 . 但 ，假设不成立.∴不存在这样的直线 . 【点睛】 这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合 来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆 心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的 弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。 三、填空题 17．函数 在 上单调递增，则实数 取值范围是__________． 【答案】 【解析】根据题意，求出该二次函数的对称轴，结合二次函数的性质可得﹣ ≤3，解可 得 a 的取值范围，即可得答案． 【详解】 根据题意，函数 f（x）＝x2+ax+2 为二次函数，其对称轴为 x＝﹣ ， 若 f（x）在（3，+∞）上单调递增， 则有﹣ ≤3，解可得 a≥﹣6； 故答案为： ． 【点睛】 本题考查二次函数的单调性，注意要求出二次函数的对称轴,讨论轴和区间端点的关系. 18．函数 的单调增区间为__________． 【答案】 【解析】先求函数的定义域，要求函数 y＝ （6-x﹣ ）的单调增区间，只要求解函 数 g（x）＝6-x﹣x2 在定义域上的单调递减区间即可. 【详解】 由题意可得，6-x﹣x2＞0 ∴函数的定义域为﹣3＜x＜2 令 g（x）＝6-x﹣x2，y＝log0.6g（x） ∵y＝ t 在 （0，+∞）上单调递减， 而 g（x）＝6-x﹣x2 在（﹣3， ]上单调递增，在[ ，2）上单调递减 由复合函数的单调性可知，函数 y＝ （6-x﹣ ）的单调增区间（ ，2） 故答案为：（ ，2） 【点睛】 本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的 关键是复合函数单调性原则的应用，但不要漏掉函数定义域的求解. 19．已知函数 f(x)＝ 则 f(2＋log23)＝________． 【答案】 【 解 析 】 由 3<2 ＋ log23<4 ， 得 3 ＋ log23>4 ， 所 以 f(2 ＋ log23) ＝ f(3 ＋ log23) ＝ 20．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 则圆 C 的方程为_____________ 【答案】x2＋y2－4x＝0. 【解析】设圆心坐标为 ,则圆方程为:(x−a)2+y2=4,根据点到直线的距离公式,得 ,解得 a=2 或 (舍去),所以圆 C 的方程为:(x−2) 2+y2=4,整理 为一般方程为: . 21．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个 球的体积为_______. ( ) 1 4{ 2 1 4 x x f x x   ≥   + < ， ， ， 1 24 2 23 3 241 1 1 2 2 24 log log+          ＝ ＝ 【答案】 【解析】分析：根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于球的直径，结合球 的体积公式进行计算即可． 详解：设正方体的棱长为 ， 因为这个正方体的表面积为 ，所以 ，解得 ， 因为一个正方体所有的顶点在一个球面上，所以正方体的体对角线等于球的直径， 即 ，即 解得 ， 则球的体积为 ． 点睛：本题主要考查了空间正方体和球的关系，及球的体积的计算，利用正方体的体对 角线等于球的直径，结合球的体积公式是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及 推理与运算能力． 22．直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】要求的实数 k 的取值范围即为直线 l 斜率的取值范围，由于曲线 y＝1+ 表 示以（0，1）为圆心，2 为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线 l 与半圆有 两个不同的交点；当直线 l 与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到 直线的距离公式列出关于 k 的方程，求出方程的解得到 k 的值；当直线 l 过 B 点时，由 A 和 B 的坐标求出此时直线 l 的斜率，根据两种情况求出的斜率得出 k 的取值范围． 【详解】 根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线 l 过 A（2，4），B（﹣2，1）， 又曲线 y＝1+ 图象为以（0，1）为圆心，2 为半径的半圆， 当直线 l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线 l 的距离 d＝r，即 ＝2， 解得：k＝ ； 当直线 l 过 B 点时，直线 l 的斜率为 ， 则直线 l 与半圆有两个不同的交点时，实数 k 的范围为 ． 故答案为： ． 【点睛】 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距 离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题 的关键． 23．将边长为 1 的正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，在折起后形 成的三棱锥 中，给出下列三种说法： ① 是等边三角形；② ；③三棱锥 的体积是 . 其中正确的序号是__________（写出所有正确说法的序号）. 【答案】①② 【解析】先作出图来，①根据图可知 BD＝ DO＝1，再由 BC＝DC＝1，可知三角形 DBC 是等边三角形．②由 AC⊥DO，AC⊥BO，可得 AC⊥平面 DOB，从而有 AC⊥BD．③ 三棱锥 D﹣ABC 的体积＝ S△ABC•OD＝ ． 【详解】 如图所示： BD＝ DO＝1 又 BC＝DC＝1 ∴三角形 DBC 是等边三角形，即①正确； ∵AC⊥DO，AC⊥BO ∴AC⊥平面 DOB ∴AC⊥BD，即②正确； 三棱锥 D﹣ABC 的体积＝ S△ABC•OD＝ •1•1• ＝ ， ③不正确． 故答案为：①②． 【点睛】 本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档 题． 24．已知圆 ： ，圆 ： ，若 上存在一点 ，使 得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径 r 的取值范围即 可． 【详解】 圆 C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆心（﹣1，6）；半径为：5． 圆 C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2＝r2．圆心（17，30）；半径为：r． 两圆圆心距为： ＝30． 如图：PA＝2AB，可得 AB 的最大值为直径， 此时 PA＝20，r＞0．当半径扩大到 55 时，此时圆 C2 上只有一点到 C1 的距离为 25，而 且是最小值，半径再大，没有点满足 PA＝2AB． r∈[5，55]． 故答案为：[5，55]． 【点睛】 本题考查两个圆的位置关系．直线与圆的综合应用．考查分析问题解决问题的能力．一 般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点 到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半 径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.