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- 2021-04-13 发布
总复习：空间向量在立体几何中的应用
【考纲要求】
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.
2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.
【知识网络】
【考点梳理】
空间向量在立体几何中的应用401056 知识要点】
考点一：立体几何中垂直和平行命题
对于垂直问题，一般是利用进行证明；
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
考点二：立体几何中有关角的求解
利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
考点三：立体几何中有关距离的计算
设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
考点四：利用平面法向量求角
设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（注意：线线角的范围[00,900]）
线面角的求法：
设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：
设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）
考点五：利用法向量求空间距离
⑴ 点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量。
⑵ 直线与平面之间的距离：
，其中，是平面的法向量。
⑶ 两平行平面之间的距离：
，其中， 是平面的法向量。
【典型例题】
类型一：利用空间向量证明有关平行或垂直
例1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点
（1）求证：AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明平面AED⊥平面A1FD1
【思路点拨】涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法
【解析】建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，
则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) ，D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)
(1)证明：
∴=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD⊥D1F
（2）解：=（2，0，1）， =（1，0，-2），| ，|
设AE与D1F的夹角为θ，
则cosθ=
所以，直线AE与D1F所成的角为90°.
（3）证明：由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，
又AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，
∵D1F平面A1FD1M
∴平面AED⊥平面A1FD1 。
【总结升华】用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0。
举一反三：
【变式1】如图，在棱长为2的正方体中，分别为、的中点，分别为与的中点．指出直线与平面的位置关系．
【解析】以AB、AA1、AD所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系如图所示，
则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),
从而E(1,0,2),F(0,1,2),G(2,1,0),H(1,1,2),
，
∴，即,
又,∴.
类型二：利用空间向量求异面直线所成的角
例2．在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求异面直线AF、CE所成角的余弦值.
【思路点拨】求异面直线所成的角，可通过过某一点作异面直线的平行线，转化为求相交直线所成的角.这里因为E为AD的中点，故可取FD的中点G，由三角形的中位线定理知EG//AF，从而求AF、CE所成的角.
【解析】如图，连DF，取DF的中点G，连GE、GC，
∵E为AD的中点，∴EG//AF，
∴∠GEC即为AF、CE所成的角.
设正四面体的棱长为a, 则CE=AF=DF=a,
∴ EG=FG=a,在RtΔGFC中,CG==a.
∴在ΔECG中，由余弦定理可得：cos∠GEC==,
∴异面直线AF、CE所成的角的余弦值.
【总结升华】作异面直线所成的角常用的方法
①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线；
②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.
一般来说，平移法是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法；
③向量法：用夹角公式.
举一反三：
【变式1】如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】D；
设，则 ，以为坐标原点建立直角坐标系如图所示，
则,
所以异面直线所成角的余弦值为。
类型三：直线与平面所成的角
例3、正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a, 求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；
【思路点拨】先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角.
【解析】作QM⊥BC于M，连MP，
则∠QPM就是直线PQ与平面ABCD所成的角
易得：QM=， MP=（1-
∴tan∠QPM=
【总结升华】求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角.
举一反三：
【变式1】如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．
(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值；
(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；
【解析】(1)以A为坐标原点，分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.
在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1
A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).
(0,,0)，(1,,),
cos<,>===
∴直线AB与直线PC所成的角余弦为.
(2)取平面ABC的一个法向量=(0，0，1)，
设PC和面ABC所成的角为，则
sin=|cos<，>|==.
∴PC和面ABC所成的角的正弦值为．
类型四：有关二面角问题
例4（2018 惠州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．
【解析】（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；
Q（0，0，0），，，．
设M（x，y，z），则，，
∵，
∴，∴
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，
∴，
∴t=3．
举一反三：
【变式1】（2018 漳州二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
【证明】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．
【解析】（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），
所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以，
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF
类型五：利用空间向量求空间距离
例5.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，，,求点E到平面ACD的距离。
【解析】以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
设平面ACD的法向量为则
，令得是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离
【总结升华】求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉。
举一反三：
【变式1】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离
【解析】如下图，
因为∠ACD=90°，所以· =0，
同理，·=0
因为AB与CD成60°角，所以〈，〉=60°或120°
因为=＋＋，
所以
所以｜｜=2或，
即B、D间的距离为2或。
类型六：空间向量在立体几何中的综合应用
例6. 如图，在三棱锥中，，，，．
A
C
B
P
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
解析：
（Ⅰ）取中点，连结．
A
C
B
D
P
，．
，．
，
平面．
平面，
．
A
C
B
E
P
（Ⅱ），，．
又，．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
A
C
B
D
P
H
二面角的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．
．
点到平面的距离为．
举一反三：
【变式1】如图，在直四棱柱中，已知，，．
B
C
D
A
E
G
（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】（Ⅰ）连结，则四边形为正方形，
，且，
四边形为平行四边形．．
又平面，平面，
平面．
（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
B
C
D
A
E
z
y
x
F
M
不妨设，则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量．
由，，得 取，则．
又，，
设为平面的一个法向量，
由，，得取，则，
设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，
．，
即所求二面角的余弦为．