- 238.30 KB
- 2021-04-13 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年江西省赣州市厚德外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题：（共60分）
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
3．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．线性回归直线方程y=bx+a恒过样本中心，且至少经过一个样本点
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
4．命题“∀x∈R，f（x）g（x）≠0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，f（x）=0且g（x）=0 B．∀x∈R，f（x）=0或g（x）=0
C．∃x0∈R，f（x0）=0且g（x0）=0 D．∃x0∈R，f（x0）=0或g（x0）=0
5．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
6．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（ ）
A．21 B．42 C．48 D．96
8．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）
A．7 B．11 C．26 D．30
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前99和为（ ）
A． B． C． D．
11．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
12．如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（共20分）
13．若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7= ．
14．设函数f（x），若f（x）=，f（f（1））= ．
15．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
16．已知数列满足：a1=1，an+1=，（n∈N*），若bn+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a10=30，a15=40
（1）求通项an
（2）若Sn=210，求n．
18．已知集合，集合B={ x|x2﹣（2m+1）x+m2+m＜0}
（1）求集合A、B；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
19．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
20．已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求{an}及Sn；
（2）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）在抛物线y=x2+x上，各项都为正数的等比数列{bn}满足b2=，b4=．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记Cn=a+b，求数列{Cn}的前n项和Tn．
22．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．
2016-2017学年江西省赣州市厚德外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共60分）
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解
【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{an}
∴an=an﹣1+an﹣2 （n＞3）
∴x=a7=a5+a6=5+8=13
故选C
2．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【考点】子集与真子集．
【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}，
∴B的子集个数为：23=8个．
故选：C．
3．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．线性回归直线方程y=bx+a恒过样本中心，且至少经过一个样本点
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据否命题的定义进行判断．
B．根据线性回归方程的性质进行判断．
C．根据含有量词的命题的否定进行判断．
D．根据逆否命题的等价性进行判断．
【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”故A错误，
B．线性回归直线方程y=bx+a恒过样本中心，但不一定过样本点，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误，
D．若x=y，则sinx=siny成立，即原命题成立，则命题的逆否命题为真命题，故D正确，
故选：D
4．命题“∀x∈R，f（x）g（x）≠0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，f（x）=0且g（x）=0 B．∀x∈R，f（x）=0或g（x）=0
C．∃x0∈R，f（x0）=0且g（x0）=0 D．∃x0∈R，f（x0）=0或g（x0）=0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，f（x）g（x）≠0”的否定是：∃x0∈R，f（x0）=0或g（x0）=0．
故选：D．
5．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．
【解答】解：∵P={x|x2≤1}，
∴P={x|﹣1≤x≤1}
∵P∪M=P
∴M⊆P
∴a∈P
﹣1≤a≤1
故选：C．
6．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】奇偶函数图象的对称性；充要条件．
【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．
【解答】解：例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，
所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”
当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=﹣f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”
所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件
故选B
7．在等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（ ）
A．21 B．42 C．48 D．96
【考点】等比数列的性质．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q2=4，而a5+a6=（a3+a4）q2，代入计算可得．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
则a3+a4=a1q2+a2q2=（a1+a2）q2
=3q2=12，解之可得q2=4，
故a5+a6=a3q2+a4q2=
（a3+a4）q2=12×4=48
故选C
8．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，
∴9a5=27，a5=3，
又∵a10=8，
∴d=1，
∴a100=a5+95d=98，
故选：C
9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）
A．7 B．11 C．26 D．30
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=1，S=0
不满足条件k＞7，执行循环体，S=1，k=3
不满足条件k＞7，执行循环体，S=4，k=7
不满足条件k＞7，执行循环体，S=11，k=15
此时，满足条件k＞7，退出循环，输出S的值为11．
故选：B．
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前99和为（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出an=1，从而推导出=，由此能求出数列的前99和．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，
∴，
解得a1=1，d=1，
∴an=1+（n﹣1）=n，
∴==，
∴数列的前99和：
S99=1﹣++…+﹣
=1﹣=．
故选：A．
11．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【考点】数列的应用．
【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．
故选：C．
12．如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由三角形的面积公式，结合图象可知需分类讨论求面积，从而利用数形结合的思想方法求得．
【解答】解：由三角形的面积公式知，
当0≤x≤a时，
f（x）=•x••a=ax，
故在[0，a]上的图象为线段，
故排除B；
当a＜x≤a时，
f（x）=•（a﹣x）••a=a（a﹣x），
故在（a， a]上的图象为线段，
故排除C，D；
故选A．
二、填空题：（共20分）
13．若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7= 13 ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．
【解答】解：依题意可得，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
14．设函数f（x），若f（x）=，f（f（1））= 1 ．
【考点】函数的值．
【分析】由分段函数的性质先求出f（1），再求出f（f（1））的值．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（1）=﹣12=﹣1，
f（f（1））=f（﹣1）=1﹣2+2=1．
故答案为：1．
15．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 [﹣1，0] ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别化简命题p，q，可得￢p，再利用¬p是q的充分不必要条件，即可得出．
【解答】解：∵命题P：{x|x≤﹣1或x≥2}，∴￢p：{x|﹣1＜x＜2}，
q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，
∵¬p是q的充分不必要条件，
∴，解得﹣1≤a≤0．
∴a的取值范围是[﹣1，0]；
故答案为：[﹣1，0]
16．已知数列满足：a1=1，an+1=，（n∈N*），若bn+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 λ＜2 ．
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【分析】数列{an}满足：a1=1，an+1=，（n∈N*），两边取倒数可得，化为，利用等比数列的通项公式可得，
于是bn+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，由于b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，可得bn+1＞bn，解出即可．
【解答】解：∵数列{an}满足：a1=1，an+1=，（n∈N*），
∴，化为，
∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，
∴，
∴bn+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，
∵b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，
∴bn+1＞bn，
∴（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，
化为λ＜n+1，
∵数列{n+1}为单调递增数列，
∴λ＜2．
∴实数λ的取值范围为λ＜2．
故答案为：λ＜2．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a10=30，a15=40
（1）求通项an
（2）若Sn=210，求n．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an．
（2）求出Sn=n2+11n，由此能求出n．
【解答】解：（1）设等差数列{an}首项为a1，公差为d，依题意可得，
，…．
解之得，…．
∴an=a1+（n﹣1）d=12+（n﹣1）×2=2n+1．…..
（2）由（1）知：
Sn=na1+=12n+=n2+11n，…
∵Sn=210，n2+n=210，解之得n=10或n=﹣21．（舍去）…..
∴n=10．…
18．已知集合，集合B={ x|x2﹣（2m+1）x+m2+m＜0}
（1）求集合A、B；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1）把集合A中的不等式移项右边变为0，左边通分后，转化为x+2与x﹣2异号，求出不等式的解集即可得到集合A；集合B中的不等式的左边分解因式后，得到x﹣m与x﹣m+1异号，即可求出x的范围得到集合B；
（2）根据集合B是集合A的子集，得到集合A包含集合B，利用两集合的解集即可列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）由集合A中的不等式： ，⇔﹣2≤x＜2，即A={x|﹣2≤x＜2}；
由集合B中的不等式：x2﹣（2m+1）x+m2+m＜0⇔（x﹣m）[x﹣（m+1）]＜0⇔m＜x＜m+1，即B={x|m＜x＜m+1}；
（2）B⊆A⇒﹣2≤m≤1．
19．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．
【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．
【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，
根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，
也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
20．已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求{an}及Sn；
（2）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到通项和求和公式；
（2）求得bn===﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简计算即可得到．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a3=7，a5+a7=26，可得a1+2d=7，2a1+10d=26，
解得a1=3，d=2，
即有an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，
Sn=na1+n（n﹣1）d=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n；
（2）bn===﹣，
前n项和Tn=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣=．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）在抛物线y=x2+x上，各项都为正数的等比数列{bn}满足b2=，b4=．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记Cn=a+b，求数列{Cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）由，推导出a1=S1=2，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1．由各项都为正数的等比数列{bn}满足，，求出首项和公比，由此能求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（Ⅱ） 先求出Cn=9n﹣4+（）3n﹣1，由此利用分组求和法能求出数列{Cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（I），当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2+（n﹣1）=，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1．
∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴an=3n﹣1．…
又各项都为正数的等比数列{bn}满足，，
解得，∴bn=（）n．…
（Ⅱ）∵，
∴Cn=a+b=a3n﹣1+b3n﹣1
=3（3n﹣1）﹣1+（）3n﹣1
=9n﹣4+（）3n﹣1，
∴数列{Cn}的前n项和：
Tn=9（1+2+3+…+n）﹣4n+2×（）n
=9×﹣4n+2×
=﹣+．…
22．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；
（2）利用对数的运算性质求出bn，使用分项求和法和平方差公式计算．
【解答】解：（1）设{an}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，
解得q=2或q=﹣1．
若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，
∴S6==63，∴a1=1．
∴an=2n﹣1．
（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，
∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．
∴bn+1﹣bn=1．
∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．
设{（﹣1）nbn2}的前2n项和为Tn，则
Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）
=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n
==
=2n2．
2016年10月20日