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- 2021-04-13 发布
广东省
广州市广东番禺仲元中学 中山市第一中学 深圳市宝安中学
六校
联合体
汕头市潮阳第一中学 揭阳市普宁第二中学 佛山市南海中学
2012~2013学年度高三第二次教学质量检测
理科数学试题 命题人：宝安中学、中山一中
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
锥体体积公式：，为底面面积，为高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则=
A． B． C． D．
2．复数在复平面中所对应的点到原点的距离为
A． B．1 C． D．
3．如图所示，一个空间几何体的主（正）视图和左（侧）视图都是边长为 1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为
A． B． C． D．
4．执行右边的程序框图，若p=4，则输出的S=
A． B． C． D．
5．数列满足，若，
则数列的第2012项为
A． B． C． D．
6．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为
A．3 B． C．2 D．
7．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
8．函数在区间上的值域是，则点（a，b）的轨迹是
图中的
A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CD
C．线段AD和线段BC D．线段AC和线段BD
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9-13题）
9．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ．
10．某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：
气温（0C）
18
13
10
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据可得线性回归方程中的，预测当气温为时，该单位用电量的度数约为_______度．
11．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是 ．
12． ．
13．若对于任意，函数的值恒大于零，则
的取值范围是 ．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的割线交圆O于两点，割线经过圆心，已知，，，则圆O的半径是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．
（1）求角的值；
（2）若，求△ABC面积．
17．（本小题满分12分）
某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．
（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率；
（2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，等腰梯形的底角为， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．
（1）求证：⊥平面；
（2）若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值；
（3）在侧棱上有一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比，求的长．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C1： （a>b>0）的离心率为，直线l：与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F 1，右焦点F2，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直直线于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若A（x1，2）、B（x2 ，y2）、C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥ BC，求yo的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数定义域为（）．
（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
（2）求证：；
（3）当时，求满足的的个数．
21．（本小题满分14分）
已知曲线 ，过上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点．
（1）求与之间的关系式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求证：
2012-2013年度12月六校联考理科数学答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
正确答案
C
C
A
C
D
B
D
A
二、填空题：
9．10； 10．80； 11．； 12．3； 13．；
14．； 15．8．
三、解答题：
16．在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．
（1）求角的值；
（2）若，求△ABC面积．
解：（1）在△ABC中，由得，，……………3分
， ……………5分
又，∴ ． ……………6分
（2）由可得，， ……………8分
由得，， ……………10分
所以，△ABC面积是． ……………12分
17．某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．
（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率；
（2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
解：（1）由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关．
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3：2：1，面积比为9：4：1，
所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1，
则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k，3k，k
根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1，解得k=0.1． ……………3分
所以，这位同学向圆形靶投掷1次飞镖，落在9环区域内的概率为0.3，
所以，P（向圆形靶投掷3次飞镖，恰有2次落在9环区域内）
． ……………6分
（2）随机变量X的取值为0，8，9，10， ……………7分
，，，，
所以，离散型随机变量X的分布列为：
X
0
8
9
10
P
0.1
0.5
0.3
0.1
……………11分
E（X）=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7． ……………12分
18．如图，等腰梯形的底角为， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．
（1）求证：⊥平面；
（2）若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值；
（3）在侧棱上有一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比，求的长．
（1）证明：依题意知，，，
又∥，，
又∵平面⊥平面，平面平面，
平面． …………………4分
（2）由知平面，
如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，
则易得各点的坐标为，
故的中点的坐标为故又
所以异面直线和所成的角的余弦值为． ……………9分
（3）解：∵，∴ ………………11分
又由知平面，又
．
设到平面的距离为，则
……………………12分
又，故 ……………………14分
19．已知椭圆C1： （a>b>0）的离心率为，直线l：与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F 1，右焦点F2，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直直线于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若A（x1，2）、B（x2 ，y2）、C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥ BC，求yo的取值范围．
解：（1），所以，，所以，， ……………2分
又因为直线l：与圆x2＋y2＝b2相切，
所以，＝b，所以，b＝，b2＝2，a2＝2， ……………………3分
所以，椭圆C1的方程是． ……………………4分
（2）因为，
所以，动点M到定直线的距离等于它到定点的距离，
所以，动点M的轨迹是以为准线，F2为焦点的抛物线，且＝1，
所以点M的轨迹C2的方程为y2＝4x． ……………………8分
（3）由（1）知A（1,2），，，，，
则，，…………………………10分
又AB⊥ BC，所以，，于是
整理，得：y22＋（y0＋2）y2＋16＋2y0＝0， …………………………12分
此方程有解，所以∆＝（y0＋2）2－4（16＋2y0）≥0，解得：y0≤－6或y0≥10，
所以，点C的纵坐标y0的取值范围是．…………………………14分
20．已知函数定义域为（）．
（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
（2）求证：；
（3）当时，求满足的的个数．
（1）解：因为 …………2分
由；由，所以在上递增，在上递减， 欲在上为单调函数，则． ……………4分
（2）证：因为在上递增，在上递减，
所以在处取得极小值， ……………………………………6分
又，所以在上的最小值为 …………8分
从而当时， ……………………………………………………9分
（3）因为，所以即为，
令，从而问题转化为求方程=0
在上的解的个数， …………………………………………12分
因为，，
所以当时，，但由于，
所以在上有两解．
即，满足的的个数为2． ……………………………………14分
21．已知曲线 ，过上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点．
（1）求与之间的关系式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求证：
解：（1）直线方程为，
．
……………………………………………4分
（2）设由（1）得
又是等比数列； ……………………8分
（3）由（2）得
……………………10分
当n为偶数时，则
；…………12分
当n为奇数时，则
而
综上所述，当时，成立．………14分