2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版） 12页

‎2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由直线l的方程为，可得直线的斜率为k=，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，，∴α=150°． 故选：A．‎ ‎2．抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【考点】抛物线的简单性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：先根据抛物线方程的标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．‎ 解答：解：抛物线的方程为抛物线x2=-8y，故p=4，‎ 其准线方程为y=2；‎ 故选B 点评：本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=-4，因看错方程形式马虎导致错误．‎ ‎3．给出下面一个程序：‎ 此程序运行的结果是(　　)‎ A．5,8 B．8,5‎ C．8,13 D．5,13‎ ‎【答案】C ‎【解析】此程序先将A的值赋给X，再将B的值赋给A，再将X＋A的值赋给B，即将原来的A与B的和赋给B，最后A的值是原来B的值8，而B的值是两数之和13.‎ ‎4．两圆和的公切线的条数为（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】B ‎【解析】圆x2+y2=9表示以（0，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+y2-8x+6y+9=0即 ‎ （x-4）2+（y+3）2=16，表示以（4，-3）为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于 小于半径之和，大于半径差，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2， 故选B．‎ ‎5．若，则曲线与曲线有（ ）‎ A. 相同的虚轴 B. 相同的实轴 C. 相同的渐近线 D. 相同的焦点 ‎【答案】D ‎【解析】对于双曲线可得c2=a2-k2+b2+k2=a2+b2．对于双曲线也有 ‎=a2+b2．∴两双曲线的半焦距相同，且焦点都x轴上，∴二双曲线由相同的焦点． 故选D．‎ ‎6．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为(　　)．‎ A. ＝1 B.＝1 C.＝1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴＝1.‎ ‎∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．‎ a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.‎ ‎∴此双曲线的标准方程为＝1.‎ ‎7．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（ ）‎ A. 或2 B. 或 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，‎ 若圆上恰有三点到直线的距离为2‎ ‎，则圆心到直线的距离为1，即，解得k=‎ 故选D ‎8．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则F，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝ ‎ 故选D ‎9．已知是双曲线： 的一条渐近线， 是上的一点， 分别是的左右焦点，若，则点到轴的距离为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线： 的 即有设渐近线l的方程为y= x，且P（m， m） 则则P到x轴的距离为|m|=2‎ 故选A ‎10．若方程有实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程 有实数解转化为 与 图像有交点，‎ 即 表示等轴双曲线轴上方的部分， 表示平行直线系，斜率都为2；把向左平移到 处， 有最小值，即，故；把向右平移到与双曲线相切时m有最小值， 得m,由题意可得与右支相切时，故 ‎ 综上：实数m的取值范围是 故选C 点睛：本题考查了函数与方程的问题，常转化为两个函数有交点，研究具体函数的性质图像，注意图像的准确性，动直线的变化规律要掌握清，关键是要注意 表示双曲线的一部分.‎ ‎11．已知，点的坐标为，点分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的准线l：x=-1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+1，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+（xB-xA）+2=3+xB，由抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=4可得交点的横坐标为1∴xB∈（1，3）∴3+xB∈（4，6） 故选B 点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，由抛物线定义可得|AF|=xA+1，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+（xB-xA）+2=3+xB，确定B点横坐标的范围是关键.‎ ‎12．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G∵∴IG∥x轴∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c， ∴S△F1PF2= ，又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标为即为内切圆半径，‎ 内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形 ∴S△F1PF2=•（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||，‎ ‎∴•|F1F2|•|y0|=•（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c|）||，∴2c=a，‎ 离心率为 故选A 点睛：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，利用等面积的方法建立等式，要用到椭圆定义.‎ 二、填空题 ‎13．点关于坐标平面的对称点的坐标是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点P（x，y，z）关于xOy平面的对称点的坐标：P（x，y，-z）， ∴点P（2，3，5）关于xOy平面的对称点的坐标是（2，3，-5）． 故答案为 ‎14．执行如图的程序框图，如果输入，则输出的_________． ‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】由程序框图可知 ‎ 故答案为45‎ ‎15．已知是双曲线的左焦点，以线段为边作正三角形，若顶点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的左焦点F1为（-c，0），以线段F1O为边作正三角形F1OM， 则可设M ，由M在双曲线上，则 由或（舍去）‎ 故答案为 点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查方程的化简整理的运算能力，求出双曲线的左焦点坐标，正三角形F1OM，则可设M代入双曲线方程，化简整理，结合a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为， 关于原点的对称点为，过作轴的垂线交抛物线于两点，给出下列五个结论：‎ ‎①必为直角三角形；‎ ‎②必为等边三角形；‎ ‎③直线必与抛物线相切；‎ ‎④直线必与抛物线相交；‎ ‎⑤的面积为.‎ 其中正确的结论是__________．‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】抛物线的焦点为, 过作轴的垂线交抛物线于两点，则, 则F为MN的中点，且|PF|=,∴△PMN为直角三角形，易得|PM|≠|MN|，故①正确，②不正确；直线PM的方程为y=x+, 与抛物线y2=2px联立消去x，得y2-2py+p2=0，△=4p2-4p2=0，∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④不正确． 的面积为, ⑤正确 故答案为①③⑤‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查抛物线的标准方程与几何性质，考查作图、分析与综合运算能力，考查转化思想与方程思想，利用斜边中线长等于斜边的一半判断此三角形是直角三角形.‎ 三、解答题 ‎17．直线经过两直线与的交点，且与直线： 平行.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若点到直线的距离与直线到直线的距离相等，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1：x+y-6=0的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案；（2）直接由点到直线的距离公式求得a的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）解得，即交点坐标为.‎ ‎∵直线： 的斜率为，‎ ‎∴直线的斜率为 ‎∴直线的方程为，即.‎ ‎（2）由题知，‎ 整理得，‎ 解得或.‎ ‎18．已知的三顶点坐标分别为： .‎ ‎（1）求的外接圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过的直线被的外接圆截得的弦长为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知圆上三个点的坐标求圆的方程可以采用一般式方程，设外接圆的方程： 则有，解得即可（2）过的直线被的外接圆截得的弦长为，转化为圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时， 符合题意②当直线的斜率存在时设直线： ，根据点到直线的距离公式得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设外接圆的方程： ‎ 则有，解之得，‎ 则外接圆的方程： ，即.‎ ‎（2）由（1）及题意知圆心到直线的距离 ‎①当直线的斜率不存在时， 符合题意 ‎②当直线的斜率存在时设直线： 即 ‎∴解之得，‎ ‎∴，即 综上，直线的方程为或.‎ ‎19．如果点在运动过程中总满足关系式 ‎.‎ ‎（1）说明点的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；‎ ‎（2）是坐标原点，直线： 交点的轨迹于不同的两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)椭圆， （2）‎ ‎【解析】试题分析：(1) 可表示与 的距离之和等于常数，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆， ，即得方程（2）由得，由及韦达定理可表示，换元，∴即可得最大值.‎ 试题解析：‎ ‎(1) 可表示与 的距离之和等于常数，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆， ‎ 故轨迹方程为.‎ ‎（2）由得，‎ ‎∵,‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎∴‎ 当且仅当即时有最大值.‎ ‎20．已知椭圆： 的左焦点为， 为坐标原点，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求弦的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点， 为轴上一点，若是菱形的两条邻边，求点横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知椭圆： 的左焦点为，有，点在椭圆上，得，联立求出即得方程（2）设， ，则，当时， 点的坐标为. 当时，∵， ，点差法两式相减得，‎ ‎∴，又过点，于是的斜率为，∴整理即可 ‎（3）设， 的中点，由（2）知， ①‎ ‎∵，∴.∴，即，整理得②将②代入①中，得，化为，‎ ‎∵，∴，由得的范围，从而得m的范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意有，且，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设， ，则，‎ 当时， 点的坐标为.‎ 当时，∵， ，‎ 两式相减得，‎ ‎∴，又过点，于是的斜率为，‎ ‎∴，‎ 整理得.‎ ‎∵也满足上式，‎ ‎∴的轨迹方程为.‎ ‎（3）设， 的中点，由（2）知， ①‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴，即，整理得②‎ 将②代入①中，得，化为，‎ ‎∵，∴ ，‎ 由（当时， 与轴垂直，不合题意，舍去），得，‎ 于是，即点的横坐标的取值范围为.‎ 点睛：本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，求中点弦的轨迹方程常采用点差法即可，注意讨论是否相等的情况.‎