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- 2021-04-13 发布
拉萨中学高二年级（2018届）第八次月考理科数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．（1+i）（2+i）=
A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i
3．已知命题， ，，则为（ ）
A. B.
C. D. 不存在
4．已知为锐角，且，则（ ）．
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知数列是递增等比数列，，则公比
A. B.4 C.-2 D.2
7．已知平面向量与的夹角等于，，则=
A. 2 B. C. D.
8．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. 2+ D.
9．执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=
A.2 B.3 C.4 D.5
10．过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），为C的准线，点N在上且MN⊥，则M到直线NF的距离为
A. B. C. D.
11．若函数为偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知三次函数的图象如图所示，则=（ ）
A.-1 B.2 C.-5 D.-3
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若实数满足条件，则的最大值是________.
14．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
1
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为__________．
0
15．已知幂函数的图像过点（9，3），则
16．已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为________.
三、解答题（共70分）
17．在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若， ，求.
18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且成等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和.
19．随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查50人,并将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
频数
10
10
10
10
10
赞成人数
3
5
6
7
9
（1）世界联合国卫生组织规定: 岁为青年， 为中年，根据以上统计数据填写以下列联表：
青年人
中年人
合计
不赞成
赞 成
合 计
（2）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关？
附： ，其中
独立检验临界值表：
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
（3）若从年龄,的被调查中各随机选取1人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为，求随机变量的分布列和数学期望.
20．如图，菱形与四边形BDEF相交于BD， 平面ABCD，DE//BF,BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点， ．
（I）求证：GM／／平面CDE；
（II）求直线AM与平面ACE成角的正弦值．
21．如图，椭圆的离心率为点（）为椭圆上的一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于、两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值.
22．设函数， .
（1）求函数的极值；
（2）若，使得成立，求的取值范围.
理数参考答案
1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C
13． 14． 15．2/3 16．
17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理变形， 可化为，由于待证的是，所以将换成，然后根据公式展开， ，于是有，所以有；（Ⅱ）根据已知条件，当， 时， ，于是根据余弦定理可以求出的值.
试题解析：（Ⅰ）由根据正弦定理得，
即，
，
，
得．
（Ⅱ）由，且， ，得，
由余弦定理， ，
所以．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】试题分析： (1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;
(2)利用裂项相消法求和.
试题解析：（Ⅰ）由题意知：
解得，故数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
则
点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据数据填写列联表；
（2）计算，对照数表即可得出结论；
（3）的可能取值为，分别计算概率即可.
试题解析：
(1)
青年人
中年人
合计
不赞成
赞成
合计
(2)由（1）表中数据得
. ，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关.
（3）的可能取值为， ，
，所以随机变量的分布列：
所以数学期望.
20．（I）见解析；（II）.
【解析】试题分析：(I) 取的中点，连接，要证平面，只需证平面平面，又， 可得；
（Ⅱ）以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量求解即可.
试题解析：
证明：（Ⅰ）取的中点，连接.
因为为菱形对角线的交点，所以为中点，又为中点，所以，
又因为分别为的中点，
所以，又因为，所以，
又，所以平面平面，
又平面，所以平面；
（Ⅱ）连接，设菱形的边长，则由，得，
又因为，所以，
则在直角三角形中， ，所以，且由平面， ，得平面.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则
则，设为平面的一个法向量，则即令，得，所以，
又，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．(Ⅰ)∵e=3√3,∴c=3√3a,∴a2=b2+(3√3a)2①，
又椭圆过点(3√,2√),∴3a2+2b2=1②
由①②解得a2=6,b2=4，
所以椭圆E的标准方程为x26+y24=1；
(Ⅱ)证明：设直线l:y=kx+1，
联立x26+y24=1y=kx+1得：(3k2+2)x2+6kx−9=0，
设C(x1,y1),D(x2,y2)，
则有x1+x2=−6k3k2+2,x1x2=−93k2+2.
易知B(0,−2)，
故kBC⋅kBD=y1+2x1⋅y2+2x2=kx1+3x1⋅kx2+3x2=k2x1x2+3k(x1+x2)+9x1x2
=k2+3k(x1+x2)x1x2+9x1x2=k2+3k⋅2k3−(3k2+2)=−2，为定值。
22．（1）的极大值为，极小值为0；（2）.
【解析】试题分析：（1）对函数求导，令得或，进而列表讨论单调性即可得极值；
（2），使得，等价于当时， ，进而求最值即可.
试题解析：
(1)由得，令得或.
当变化时， 与的变化情况如下表：
0
2
0
0
递减
极小值0
递增
极大值
递减
故函数的极大值为，极小值为0.
(2) ，使得，等价于当时，
，
由得，
当时， ， 递减，当时， ， 递增，
所以当时， .
由(1)知，解得.
故的取值范围是.
点睛：解决本题的关键是确定两个函数的关系，此题中不等式的变量是无关的，所以在找最值时可以淡化一个，只考虑一个就行,对于，要求存在都要满足不等式，故转化成求在的最大值满足不等式即可，而对于是要求存在满足不等式，故转化为满足不等式即可，即得.