2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 20页

‎2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得：集合是数集，集合是点集，再利用交集概念即可得解。‎ ‎【详解】‎ 因为集合是数集，集合是点集，‎ 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的表示方法及交集的概念，属于基础题。‎ ‎2．已知是虚数单位，则复数位于复平面内第几象限（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】整理可得：，该复数对应的点在第二象限，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 由可得：，‎ 该复数对应的点在第二象限.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的除法运算及复数对应复平面内的点知识，属于基础题。‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用余弦的二倍角公式得解。‎ ‎【详解】‎ 将代入上式可得：‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎4．已知某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形，则该四棱锥的最长棱与底面所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥，该四棱锥中最长的棱为，即可得它与底面所成角为，利用角的正切定义计算即可得解。‎ ‎【详解】‎ 由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥，‎ 如下图中的四棱锥 设正方体的边长为，该四棱锥中最长的棱为，‎ 它与底面所成角为，又,‎ 所以 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图还原几何体，还考查了线面角知识，考查空间思维能力及计算能力，属于较易题。‎ ‎5．如图程序框图输出的，则输入的所有取值为（ ）‎ A．-2或2 B．4或2 C．-2或4或2 D．-2或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】对的范围分类，结合流程图即可列方程得解。‎ ‎【详解】‎ 由流程图可得：当时，，令，解得：或（舍去）‎ 当时，，令，解得：‎ 所以输入的所有取值为：或 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类思想、方程思想及流程图知识，属于较易题。‎ ‎6．已知等差数列，且是方程的两根，是数列的前项和，则的值为（ ）‎ A．110 B．66 C．44 D．33‎ ‎【答案】B ‎【解析】由韦达定理可得：，再由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可计算得解。‎ ‎【详解】‎ 因为是方程的两根，‎ 所以.‎ 所以 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了韦达定理的应用，还考查了等差数列前项和公式及等差数列的性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题。‎ ‎7．已知圆，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的长度为（ ）‎ A． B．5 C． D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可求得圆的标准方程为，即可求得其半径为，圆心为，依据题意作出图象，由勾股定理列方程即可得解。‎ ‎【详解】‎ 由得：，‎ 所以该圆的半径为，圆心为，‎ 依据题意作出图象如下：‎ 为直线与圆的切点 所以 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的切线性质，还考查了两点距离公式及勾股定理的应用，考查转化能力及计算能力，属于较易题。‎ ‎8．已知函数，其图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】检验得：，所以为奇函数，排除C,D，再利用导数即可求得，即可判断在上存在递增区间，排除A，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以为奇函数，排除C,D 当时，‎ 所以，‎ 所以在上存在递增区间，排除A.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图像识别，考查了奇函数的图像特征及利用导数判断函数的单调区间，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎9．的展开式中的系数为（ ）‎ A．-5 B．5‎ C．35 D．-90‎ ‎【答案】A ‎【解析】的展开式的通项公式为，即可得展开式为与这些项的和组成，对赋值即可求得含的项，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 的展开式的通项公式为，‎ 所以展开式是由与这些项的和组成，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以的展开式中的系数为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项展开式的通项公式，还考查了赋值法、分类思想及计算能力、转化能力，属于中档题。‎ ‎10．在区间上任意取两个实数，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出点所在的平面区域是正方形，满足的点在线段左上方的阴影部分，利用几何概型概率公式计算即可得解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：‎ 作出点所表示的平面区域如下图的正方形，‎ 又满足的点在线段左上方的阴影部分，‎ 所以的概率为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了转化能力及数形结合思想，还考查了几何概型概率计算公式，属于中档题。‎ ‎11．已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设外接圆的圆心为，则平面，所以，设外接圆的半径为，，利用正弦定理即可求得：，再利用截面圆的性质可列方程：，即可求得，即可求得点到平面的距离的最大值为，利用余弦定理及基本不等式即可求得：，再利用锥体体积公式计算即可得解。‎ ‎【详解】‎ 设外接圆的圆心为，则平面，所以 设外接圆的半径为，，‎ 由正弦定理可得：，解得：‎ 由球的截面圆性质可得：，解得：‎ 所以点到平面的距离的最大值为：.‎ 在中，由余弦定理可得：‎ 当且仅当时，等号成立，所以.‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.‎ 所以三棱锥的体积的最大值为 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了球的截面圆性质，还考查了转化思想及正、余弦定理应用，考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式，还考查了计算能力及空间思维能力，属于难题。‎ ‎12．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆 上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆上存在点使得，则，可得，整理得：，结合可得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 依据题意作出如下图象：‎ 由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，‎ 要满足椭圆上存在点使得，‎ 则 所以 即：，整理得：‎ 又，即：‎ 所以 所以椭圆离心率的取值范围为 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了转化能力及椭圆的简单性质，还考查了计算能力，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．已知不共线的非零向量，若与平行，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】-4.‎ ‎【解析】由向量平行关系可得：，再由平面向量基本定理可列方程，解方程即可。‎ ‎【详解】‎ 因为与平行，‎ 所以 所以，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量平共线的判定定理，还考查了方程思想及平面向量基本定理，属于较易题。‎ ‎14．实数满足约束条件：，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，由表示与点连线斜率及图象可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域如下图：‎ 其中 因为表示与点连线斜率，由图可得：‎ 当点在点处时，它与点连线斜率最小为.‎ 所以的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的最值，考查转化能力及数形结合思想，属于中档题。‎ ‎15．函数在区间的单调增区间为__________．‎ ‎【答案】，（开闭都可以）.‎ ‎【解析】由复合函数的单调性可得：，解得函数的单调增区间为（），对的取值分类，求得即可得解。‎ ‎【详解】‎ 令（）‎ 解得：（）‎ 所以函数的单调增区间为（）‎ 当时，=‎ 当时，‎ 当取其它整数时，‎ 所以函数在区间的单调增区间为，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题。‎ ‎16．已知函数满足：，且，当时，，则函数在点的切线方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由导数定义可得：，可判断点在曲线上，由函数满足可得：函数的图象关于点对称，利用函数图象的对称性可得：也在函数的图象上及函数的图象在点处的切线与在点处的切线也关于点对称，即可求得点为点及，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：‎ 因为，所以点在曲线上，‎ 又函数满足：，‎ 所以函数的图象关于点对称，‎ 所以点关于点对称的点也在函数的图象上 所以点为点，‎ 又函数的图象在点处的切线与在点处的切线也关于点对称，所以两切线平行.‎ 即：‎ 所以函数在点的切线方程为：，即：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数在某点处的导数概念，还考查了函数的对称性应用及转化能力，考查了直线方程的点斜式及导数的几何意义，考查计算能力，属于难题。‎ 三、解答题 ‎17．已知，，.‎ ‎（1）求函数的最大值，及此时的取值；‎ ‎（2）在三角形中角的对边分别为，若，，，求三角形的面积.‎ ‎【答案】(1)函数的最大值为2，此时.(2) .‎ ‎【解析】（1）化简可得：，利用正弦函数的性质列方程可得：时， 取得最大值为，问题得解。‎ ‎（2）由可得：，由余弦定理可求得：，再利用三角形面积公式计算得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：，‎ 化简得： ，‎ 当，即时，此时取得最大值为. ‎ ‎（2）由得：，. ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和的正弦公式、二倍角公式及数量积的坐标运算，还考查了三角函数的性质及余弦定理，考查了方程思想、计算能力及三角形面积公式，属于中档题。‎ ‎18．已知数列满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由题可得：是等差数列，再利用即可求得的首项，问题得解。‎ ‎（2）利用（1）可得：，利用放缩法可得：，即可证得，问题得证。‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 是等差数列，公差为. ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎（2） ‎ ‎,,,，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的定义及其通项公式，还考查了放缩法证明不等式及裂项求和方法，考查转化能力及计算能力，属于难题。‎ ‎19．如图多面体，，棱垂直平面，且.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2). ‎ ‎【解析】（1）作,的中点分别为，连接，设，证明，即可证得：，同理可证得：，即可证明面，问题得证。‎ ‎（2）建立空间直角坐标系,为的中点，设，求得平面的法向量为，结合及向量夹角公式即可求得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）作,的中点分别为，连接，设 则,，‎ 可算得.‎ 在三角形中，‎ ‎，即 同理可得 又 面,‎ ‎ 又面 ‎.（用向量证明也可以）‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系,为的中点，设，则 设平面的法向量为，‎ 因为，，所以 所以，不妨设，则 所以，又 所以直线与平面所成角的正弦值为:‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线线垂直的证明及转化能力，还考查了利用空间向量求线面角的正弦值，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎20．为了了解学生考试时的紧张程度，现对100名同学进行评估，打分区间为 ‎，得到频率分布直方图如下，其中成等差数列，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）现采用分层抽样的方式从紧张度值在，中共抽取5名同学，再从这5名同学中随机抽取2人，求至少有一名同学是紧张度值在的概率.‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】(1)直接利用图中数据及成等差数列列方程组，解方程组即可。‎ ‎（2）根据分层抽样中抽2人记为，中抽3人记为，可列出基本事件总数为10种，“至少有一名在的同学”事件包含7个基本事件，利用古典概型概率计算公式计算得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：‎ 解得. ‎ ‎（2）根据分层抽样中抽2人记为，中抽3人记为 共有10种本事件： ，‎ 记事件为：至少有一名在的同学，该事件包含7个基本事件，‎ 所以至少有一名同学是紧张度值在的概率 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图知识，考查了等差数列的定义，还考查了古典概型概率计算公式，属于中档题。‎ ‎21．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，离心率 ‎，上顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，且满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由题可得：，解得：，问题得解。‎ ‎（2）设直线为，点，联立直线与椭圆方程可得：，利用可得：，即可整理得：，此方程无解，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：，解得：，‎ 所以椭圆方程为： ‎ ‎（2）设直线为，点 由化简得： ‎ ‎ ‎ 即 ‎，化简得，此方程无解 所以不存在满足题意的直线.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了方程思想及韦达定理，还考查了向量的坐标运算、向量的数乘运算及转化能力，考查计算能力，属于难题。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设，证明：只有一个极值点，且.‎ ‎【答案】(1) 增区间为，减区间为.(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）求得，解不等式即可得解。‎ ‎（2）记，求得，再求导数可得：，即可判断在上单调递增，结合即可判断：在区间存在唯一一个，使得，即可证得只有一个极值点，由可化简，结合即可证明，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：， ‎ 即，即 所以的增区间为，减区间为 ‎ ‎（2），‎ ‎，，显然 即在上单调递增 在区间存在唯一一个，使得 即在区间上，，为减函数 在区间上，，为增函数 只有一个极小值点 在区间上存在唯一一个使得 即，‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数判断函数的零点个数，还考查了转化能力及计算能力，属于难题。‎