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- 2021-04-13 发布
永春一中2018-2019学年高二年下学期期末考数学(文)科试卷（2019.07）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．若a、b、，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
算得，K2≈7.8．参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4．下列函数中，既是奇函数，又是以为最小正周期的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中， 若,则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
6．观察下列各式：的末
两位数字为（ ）
A．49 B．43 C．07 D．01
7．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知α，β∈（0，），cosα＝，cos（α+β）＝ ，则β＝（ ）
A． B． C． D．
9．在正方体中，E为棱CD的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
10．将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
12．以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为，当面积取最大时，腰长为（ ）
A. B. C. D．前三个答案都不对
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。
13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin212°＋cos218°－sin12°cos18°；
(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. 则常数 ．
14．某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：
得出下面四个结论：
①甲同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前
②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
则所有正确结论的序号是_________．
15．在四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面体A-BCD的最大体积
为，则四面体A一BCD外接球的表面积为________．
16．正三棱柱中，所有棱长均为2，点
分别为棱的中点，若过点作一截面，
则截面的周长为 ．
第II卷（非选择题，共90分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答。
17． (本小题满分12分）
已知函数的一系列对应值如下表：
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，，，求的面积．
18．(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，
，E，F分别是PC，AD的中点．
求证：（1）BE⊥CD；
（2）EF∥平面PAB．
A
B
C
D
P
E
F
（第18题）
19．(本小题满分12分）
保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：
距消防站距离x（千米）
1.8
2.6
3.1
4.3
5.5
6.1
火灾损失费用y（千元）
17.8
19.6
27.5
31.3
36.0
43.2
（Ⅰ）请用相关系数r（精确到0.01）说明y与x之间具有线性相关关系；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；
（III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，请你评估一下火灾的损失（精确到0.01）．
参考数据： ，
参考公式：相关系数r＝，线性回归方程，
其中， ）
20．（本小题满分12分）
已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点G（0，）的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存
在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点? 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）证明：，都有；
（3）若，且，求证：.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）点P(x，y)是直线l与圆面的公共点，求x＋y的取值范围．
23．[选修4---5:不等式选讲] （10分）
已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
（1）当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围．
永春一中高二年下学期期末考数学(文)科试卷（2019.07）
参考答案
一、选择题：（每题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
D
A
B
D
B
A
D
A
C
二、填空题：（每题5分，满分20分）
13．； 14．①③ ； 15．； 16．．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17． 解：（Ⅰ）由表格信息可知，函数的周期为，所以．
注意到，也即， 又，所以，
所以函数的解析式为
（或者）. …… 6分
（Ⅱ）∵，为锐角三角形，∴，
由余弦定理得 ，
∴．…… 12分
（注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）．
18．(本小题满分12分）
（1）在△PBC中，因为，E是PC的中点，
所以BE⊥PC．
又因为平面BPC⊥平面DPC，
平面BPC平面DPC，平面BPC，
所以BE⊥平面PCD．
又因为平面DPC，
所以BE⊥CD． …… 6分
（2）取PB的中点H，连结EH，AH．在△PBC中，又因为E是PC的中点，
所以HE∥BC，．
又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，
所以AF∥BC，．所以HE∥AF，，
所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF∥HA．
又因为平面PAB，平面PAB，
所以EF∥平面PAB． …… 12分
19．(本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
， 说明y与x之间具有较强的线性相关 …………………（3分）
（Ⅱ）依题意得
所以， …（6分）
又因为 （7.32，7.33均给分）…（8分）
故线性回归方程为 （+7.32或7.33均给分）…（9分）
（III）当x＝10时，根据回归方程得（63.52或63.53均给分），
发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，火灾的损失63.51千元．……（12分）
20．（本小题满分12分）
解：(I)由题意得
点的轨迹为以为焦点的椭圆.
点的轨迹的方程为………4分
(II)当直线的斜率存在，可设方程为，设
联立可得
由求根公式化简整理得
假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则
， 即
得 求得定点
当直线的斜率不存在，以为直径的圆也过点.
故在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.……………12分
21.（本小题满分12分）
解：（1） ，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
①当，即时，时单调递减，故；
②当，即时，时单调递增，；
③当时，在单调递增，在单调递增减，
．
综上 ………………………………………4分
（2）设，
则，
，
∵，∴，又，
∴，在上单调递增.
∴，
即 ………………………………………8分
（3）当时，单调递增， 当时，单调递减，
若，且， 所以不妨设，
令， 则，
由(2)得， ∵，∴，
又，
∴，即． ……………………………………12分
22．解 (1)因为圆C的极坐标方程为，
所以.又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x， 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0. …… 5分
(2)设z＝x＋y，由圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，
得(x＋1)2＋(y－)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.
将代入到z＝x＋y，得z＝－t.
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2，
即x＋y的取值范围是[－2,2]．…… 10分
另：由直线l与圆C得－1－≤x≤－1＋，x＋y=(x＋1) [－2,2]. …… 10分
23．解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.…… 5分
(2)由题设可得，f
所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为
，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)．…… 10分